2020-2021学年5.5 三角恒等变换课堂检测

5．5．1．1两角差的余弦公式

A级　基础巩固

一、选择题

1．coscos＋cossin的值是(　C　)

A．0  B．

C．  D．

[解析]　原式＝coscos＋sin·sin＝cos(－)＝cos＝．

2．cos285°等于(　A　)

A．  B．

C．  D．－

[解析]　cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝．

3．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC是(　D　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

[解析]　由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0．

即cos(A＋B)>0，－cosC>0，cosC<0．

又0<C<π，故<C<π，△ABC为钝角三角形．

4．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　B　)

A．sin2x  B．cos2y

C．－cos2x  D．－cos2y

[解析]　原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y．

5．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝(　A　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，

∴cos(30°＋α)＝－，

又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]

＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－×＋×＝．

6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α－β)的值为(　B　)

A．0  B．1

C．±1  D．－1

[解析]　∵sinαsinβ＝1，∴或，

由cos2α＋sin2α＝1得cosα＝0，

∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1．

二、填空题

7．已知cos(α－)＋sinα＝，则cos(α－)的值是　　．

[解析]　cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，

cosα＋sinα＝，

∴cos(α－)＝cosα＋sinα＝．

8．已知tanθ＝－，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为　　．

[解析]　∵tanθ＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－，

∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin

＝－×＋×＝．

三、解答题

9．已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．

[解析]　∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，

∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－．

10．已知sin＝，且<α<，求cosα的值．

[解析]　∵sin＝，且<α<，

∴<α＋<π．

∴cos＝－＝－．

∴cosα＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是(　B　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

[解析]　因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．

2．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是(　A　)

A．3≤m≤5  B．－5≤m≤5

C．3<m<5  D．－3≤m≤3

[解析]　∵sinx＋cosx＝cosx＋sinx

＝cosxcos＋sinxsin＝cos(x－)＝4－m，

∴cos(x－)＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5．

3．已知sin＝，<α<，则cosα的值是(　A　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵<α<，∴<＋α<π．

∴cos＝－＝－．

∴cosα＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝．

4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为(　D　)

A．  B．

C．  D．－

[解析]　由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，

所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，

即2＋2cos(α－β)＝1．

所以cos(α－β)＝－．

二、填空题

5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝　　．

[解析]　原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]

＝cos30°＝．

6．已知cos＝cosα，则tanα＝　　．

[解析]　cos＝cosαcos＋sinαsin

＝cosα＋sinα＝cosα，

∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝．

三、解答题

7．已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．

[解析]　因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π．

因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π．

所以sin(2α－β)＝．

因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，

因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，

所以cos(α－2β)＝．

所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]

＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)

＝－×＋×＝0．

8．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．

[解析]　(1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝．而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx．

(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝．

∵α，β∈(0，)，

∴sinα＝＝，sinβ＝＝，

∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝．

C级　能力拔高

若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β的值为(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　∵0<α<，0<β<，α<β，

∴－<α－β<0．

又cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝－＝－．

又∵0<2α<π，cos2α＝，

∴sin2α＝＝．

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×(－)＝－．

又0<α＋β<π，故α＋β＝．