人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后测评

第五章　5.4.3　正切函数的性质与图象

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]函数f(x)=的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

2.[探究点四](多选题)与函数y=tan的图象不相交的一条直线方程是(　　)

A.x= B.x=-

C.x= D.x=-

3.[探究点三]函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

4.[探究点四]函数y=2tan的对称中心是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

5.[探究点三]下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递增的是(　　)

A.y=sin 2x B.y=cos 2x

C.y=tan x D.y=sin

6.[探究点二(角度1)]函数y=tan的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 

7.[探究点二(角度2)·2023河南南阳唐河月考]tan 1,tan 2,tan 3的大小顺序是　　　　　　　　　　. 

8.[探究点一]求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.

B级  关键能力提升练

9.下列图形是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)

A.①②③④ B.①③④②

C.③②④① D.①②④③

10.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x 图象交点的个数为(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

11.方程tan=在[0,2π)上的解的个数是(　　)

A.5 B.4 

C.3 D.2

12.(多选题)下列关于函数f(x)=tan的相关结论,正确的有(　　)

A.f(x)的定义域是

B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)

D.f(x)的对称中心是(k∈Z)

13.(多选题)对于函数f(x)=asin x+btan x+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的结果可能是(　　)

A.4和6 B.3和1 

C.2和4 D.1和2

14.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减,则ω的取值范围为　　　　　　. 

15.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:

①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;

②f(x)的图象关于对称;

③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;

④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.

其中不正确的说法的序号是　　　　　. 

16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.

C级  学科素养创新练

17.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.

(1)当θ=-时,求函数的最大值和最小值;

(2)若y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,求θ的取值范围.

答案：

1.A　解析 由题意得k∈Z,

所以x≠(k∈Z),故选A.

2.AD　解析 令2x-+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,

∴直线x=,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,

∴当k=-1时,x=-;当k=0时,x=.

3.A　解析 函数的定义域为,关于原点对称.

设y=f(x)=,

则f(-x)==-f(x).

所以y=f(x)是奇函数.故选A.

4.C　解析 由x-,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,

∴函数的对称中心是,k∈Z.

5.C　解析 在区间上,2x∈(0,π),则y=sin 2x不单调,故A错误;

在区间上,2x∈(0,π),y=cos 2x单调递减,故B错误;

在区间上,y=tan x单调递增,且其最小正周期为π,故C正确;

根据函数以π为最小正周期,但y=sin的周期为=4π,故D错误.故选C.

6.,k∈Z　解析 令-+kπ<3x++kπ,k∈Z,

则<x<,k∈Z,

所以函数y=tan的单调递增区间是,k∈Z.

7.tan 2<tan 3<tan 1　解析 因为1∈,2,3∈,且y=tan x在和上均单调递增,所以tan 2<tan 3<0,且0<tan 1,所以tan 2<tan 3<tan 1.

8.解 ∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

9.D

10.C　解析 在同一平面直角坐标系中,

首先作出y=sin x与y=tan x在区间内的图象,

需明确x∈时,有sin x<x<tan x,

然后利用对称性作出x∈时两函数的图象

(注意正切函数的定义域),

如图所示,由图象可知它们有三个交点.

11.B　解析 由题意知,2x++kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.

又x∈[0,2π),所以x=0,,π,,共4个.故选B.

12.AC　解析 令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),

则函数f(x)的定义域是,A选项正确;

函数f(x)的最小正周期为,B选项错误;

令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z),解得<x<(k∈Z),

则函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z),C选项正确;

令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),

则函数y=f(x)的图象的对称中心为(k∈Z),D选项错误.

13.ABC　解析 设g(x)=asin x+btan x,显然g(x)为奇函数.

∵f(1)=g(1)+c,f(-1)=g(-1)+c,

∴f(1)+f(-1)=2c.

∵c∈Z,∴f(1)+f(-1)为偶数.故选ABC.

14.[-1,0)　 解析 由题意可知ω<0,

又,故-1≤ω<0.

15.①　解析 ①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;

观察正切函数y=tan x的图象,可知其关于(k∈Z)对称,

令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.

16.解 y=tan=tan,

∵y=tan x在区间(k∈Z)上单调递增,

∴结合题意,易得a<0,

又x∈,∴-ax∈,

∴-ax∈,

∴

解得-≤a≤6-8k(k∈Z).

由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.

∵a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.

17.解 (1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=2-.

∵x∈[-1,],∴当x=时,f(x)取得最小值-,

当x=-1时,f(x)取得最大值.

(2)f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ是关于x的二次函数,

它的图象的对称轴为直线x=-tan θ.

∵y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,

∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,即tan θ≥1或tan θ≤-.

又θ∈,

∴θ的取值范围是(-,-]∪[).