高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步达标检测题

人教A版（2019）必修第一册第五章5.4

课时3正切函数的性质与图象练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．下列说法中错误的是（    ）

A．奇函数的图像关于坐标原点对称 B．图像关于轴对称的函数是偶函数

C．奇函数一定满足 D．偶函数的图像不一定与轴相交

2．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的定义域为

A． B．

C． D．

4．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．设，，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．函数的单调递增区间为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

8．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

9．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

10．函数y＝4tan的最小正周期为________．

11．已知函数，若，则__________．

12．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．

13．－与的大小关系是______________．

14．已知函数，则函数的零点个数是______个．

三、解答题

15．已知 

(1)证明是上的增函数；

(2)是否存在实数使函数为奇函数？若存在，请求出的值，若不存在，说明理由．

16．分别写出满足下列条件的x值的范围.

（1）；（2）.

17．已知，，求的最大值和最小值，并求出相应的值．

18．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：

(1)求“余正弦”函数的定义域；

(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；

(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

19．求下列函数的值域：

（1）；

（2）．

参考答案：

1．C

【分析】由奇偶函数的性质知A，B正确；对于C可举反例说明C错误；对于D，亦可举例说明偶函数的图像不一定与轴相交，得到D正确.

【详解】根据奇偶函数的性质知A，B正确；

对于C，如，，易得函数是奇函数，但它的图像不过原点，故C错误；

对于D，如，，易得函数是偶函数，但它的图像不与y轴相交，故D正确．

故选：C．

2．B

【解析】先由已知求得函数的周期，得到，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数的单调区间，可得选项.

【详解】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以，，

由，得，所以在上是增函数，

由，得.

故选：B.

【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题.

3．C

【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围．

【详解】由题可知，，

，，

  ，

．

【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题．

4．A

【分析】由及对数函数的单调性可得；将变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得，即可得解．

【详解】由，得．

由，得．

记函数，则，

所以函数在R上单调递增，又，

则，所以．

因此“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

5．A

【分析】由对任意，恒成立，则只要即可，根据函数的单调性求出函数的最小值即可得出答案.

【详解】解：由对任意，恒成立，则只要即可，

因为函数和在上都是增函数，

所以函数，在上是增函数，

所以，

所以.

故选：A.

6．D

【解析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式化简，再根据正切函数单调性确定结果.

【详解】

因为，，所以，，

因此由得

故选：D

【点睛】本题考查诱导公式、二倍角余弦公式、正切函数性质，考查综合分析化简能力，属中档题.

7．C

【分析】利用正切函数的性质求解.

【详解】解：令，

解得，

所以函数的单调递增区间为，，

故选：C

8．A

【分析】根据分段函数，分，，由求解.

【详解】因为函数，且，

当时，，即，

解得或，

当时，，无解，

综上：，

所以，

故选：A

9．B

【分析】由条件可得，即，然后求出的单调递增区间可得答案.

【详解】因为直线与函数的图象的相邻两个交点的距离为，

所以，所以，即

由可得

当时可得在上单调递增

因为函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是

故选：B

10．

【分析】根据，直接计算可得结果.

【详解】由题可知：T＝.

故答案为：

【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期，识记公式，属基础题.

11．

【详解】因为，

故答案为-5.

12．

【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，解得，即．

故答案为：

13．－

【详解】．

∵，

∴，

∴，即．

答案：

点睛：

比较三角函数值大小的方法

（1）如果函数值的大小能够求出，则可根据函数值的大小进行判断；

（2）如函数值无法求出，则可通过诱导公式等把角转化到同一单调区间内，根据函数的单调性比较大小．

（3）若以上方法无法使用，则可选择中间量进行比较．

14．3

【分析】函数的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，结合图象即可求出结果.

【详解】函数有的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，如图：

，

由图可知，函数与有3个交点，故函数有的零点个数为3，

故答案为：3.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

15．(1)证明见解析

(2)存在实数，理由见解析

【分析】（1）根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明；（2）根据可求得 的值，进而根据奇函数的定义证明即可.

(1)

对任意都有的定义域是，

设，且，则

在上是增函数，且

且

是上的增函数．

(2)

若存在实数使函数为上的奇函数，则

下面证明时是奇函数

为上的奇函数

存在实数，使函数为上的奇函数．

16．（1）；（2）

【解析】（1）先求出当时，满足的解集，再根据正切函数的周期性，得到答案；（2）先求出当时，满足的解集，再根据余弦函数的周期性，得到答案

【详解】解：（1）由，得.

当，由，解得解集为

又因的最小正周期为，

所以的取值范围是.

（2）由，得，

当时，由，解得解集为，

又因的最小正周期为，

所以的取值范围是.

【点睛】本题考查解三角函数不等式，属于简单题.

17．当时，有最小值；当时，有最大值.

【分析】将函数的解析式变形为，由计算得出，利用二次函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值及其对应的的值.

【详解】，且，.

当时，即当时，函数取最小值；

当时，即当时，函数取最大值.

【点睛】本题考查正切型二次函数最值的求解，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

18．(1)

(2)偶函数，理由见解析

(3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为.

【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域.

（2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性.

（3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域.

（1）

的定义域为.

（2）

对于函数，

，所以是偶函数.

（3）

，

在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减.

在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增.

所以的最小正周期为，

在上是严格减函数，在上是严格增函数.

结合的单调性可知，的值域为.

19．（1）；（2）

【分析】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得；

（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为，所以

令则

所以

因为，所以，，，

，即

（2）因为

所以

令，

所以

所以在上单调递增，在上单调递减，

，，

所以

即函数的值域为

【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.