高中数学第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第1课时习题

5．4．2正弦函数、余弦函数的性质

第1课时　

A级　基础巩固

一、选择题

1．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　B　)

[解析]　由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B．

2．函数y＝sin的最小正周期为(　C　)

A．π  B．2π

C．4π  D．

3．函数f(x)＝7sin(＋)是(　A　)

A．周期为3π的偶函数  B．周期为2π的偶函数

C．周期为3π的奇函数  D．周期为的偶函数

4．函数y＝|cosx|的最小正周期是(　C　)

A．  B．

C．π  D．2π

5．下列说法中正确的是(　A　)

A．当x＝时，sin(x＋)≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期

B．当x＝时，sin(x＋)＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期

C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期

D．因为cos(－x)＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期

6．若函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为，则ω的值为(　A　)

A．3  B．

C．  D．

[解析]　函数y＝2sinωx的最小值是－2，该函数的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由＝，得ω＝3．

二、填空题

7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．

8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝__－1__．

[解析]　由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．

又f(1)＝1，则f(5)＝－1．

三、解答题

9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．

[证明]　∵f(x＋2)＝，

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．

∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．

10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx．

(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；

(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求当f(x)≥时x的取值范围．

[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，

∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．

又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，

f(x)的周期为π，

∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx．

∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx．

(2)如右图．

(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，

∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．

又∵f(x)的周期为π，

∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z．

B级　素养提升

一、选择题

1．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　D　)

A．10  B．11

C．12  D．13

[解析]　T＝＝≤2，∴k≥4π又k∈N*

∴k最小为13，故选D．

2．函数y＝的周期是(　C　)

A．2π  B．π

C．  D．

[解析]　T＝·＝．

3．函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为(　A　)

A．  B．π

C．2π  D．4π

[解析]　∵＝|sinx|＋|cosx|．∴原函数的最小正周期为．

4．函数f(x)＝4sin(x＋)是(　A　)

A．周期为3π的偶函数  B．周期为2π的偶函数

C．周期为π的奇函数  D．周期为π的偶函数

[解析]　f(x)＝4sin(x＋)＝4sin(x＋π)＝－4cosx，∴T＝3π，且满足f(－x)＝f(x)，故选A．

二、填空题

5．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__．

[解析]　∵f(x)的周期为，且为偶函数，

∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．

6．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为　±　．

[解析]　∵f(x)的最小正周期为，ω>0，

∴ω＝＝4．∴f(x)＝3sin．

由f＝3sin＝3cosα＝，

∴cosα＝．

∴sinα＝±＝±．

三、解答题

7．已知函数y＝sinx＋|sinx|．

(1)画出函数的简图；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

[解析]　(1)y＝sinx＋|sinx|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．

8．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．

[解析]　x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，

因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，

所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx．

又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．

C级　能力拔高

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3，4]时，f(x)＝x－2，则有下面三个式子：

①f(sin)<f(cos)；②f(sin)<f(cos)；③f(sin1)<f(cos1)．其中一定成立的是__②③__(填序号)．