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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步训练题，共6页。试卷主要包含了令k=0,得x=π8等内容，欢迎下载使用。
A组
1.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则( )
A.a
2.与函数y=tan2x+π4的图象不相交的一条直线是( )
A.x=π2B.y=π2C.x=π4D.x=π8
3.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是( )
4.函数y=3tan2x+π4的定义域是( )
A.xx≠kπ+π2,k∈Z
B.xx≠kπ2-3π8,k∈Z
C.xx≠kπ2+π8,k∈Z
D.xx≠kπ2,k∈Z
5.函数y=13tan-7x+π3的图象的一个对称中心是( )
A.5π21,0B.π21,0C.π42,0D.0,33
6.已知函数f(x)=-2sinx,-1≤x≤0,tanπ4x,0
7.函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为 .
8.函数f(x)=tan x在区间-π3,π4上的最小值为 .
9.-tan6π5与tan-13π5的大小关系是 .
10.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
B组
1.函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是( )
A.πB.2πC.3πD.4π
2.函数f(x)=13tanπ2x+π4的单调递增区间为( )
A.2k-32,2k+12,k∈ZB.2k-12,2k+12,k∈Z
C.4k-12,4k+12,k∈ZD.4k-32,4k+12,k∈Z
3.下列说法正确的是( )
A.正切函数在整个定义域上是增函数
B.正切函数在某一区间内单调递减
C.函数y=tanπ2x+π3的周期为2
D.tan 138°>tan 143°
4.函数f(x)=tan2x+π6-1在区间(0,π)内的零点是 .
5.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域为 .
6.函数y=sin x与y=tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少?
7.设函数f(x)=tanx2-π3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
参考答案
A组
1.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则( )
A.a
解析:由题意可知a=tan 1>1,b=tan 2=-tan(π-2)<0,c=tan 3=-tan(π-3)<0.
∵π2>π-2>π-3>0,
∴tan(π-2)>tan(π-3)>0.
∴-tan(π-2)<-tan(π-3)<0,
∴a>0>c>b.
答案:C
2.与函数y=tan2x+π4的图象不相交的一条直线是( )
A.x=π2B.y=π2C.x=π4D.x=π8
解析:由2x+π4=π2+kπ(k∈Z),
得x=π8+kπ2(k∈Z).令k=0,得x=π8.
可知x=π8为函数y的图象的一条渐近线,即直线x=π8与函数y的图象不相交.
答案:D
3.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是( )
解析:当x=2π3时,tan12×2π3-π3=0,排除选项C和选项D;
当x=5π3时,tan12×5π3-π3=tanπ2,无意义,排除选项B;故选A.
答案:A
4.函数y=3tan2x+π4的定义域是( )
A.xx≠kπ+π2,k∈Z
B.xx≠kπ2-3π8,k∈Z
C.xx≠kπ2+π8,k∈Z
D.xx≠kπ2,k∈Z
解析:要使函数y有意义,则2x+π4≠kπ+π2(k∈Z),即x≠kπ2+π8(k∈Z),
故函数y的定义域为xx≠kπ2+π8,k∈Z,故选C.
答案:C
5.函数y=13tan-7x+π3的图象的一个对称中心是( )
A.5π21,0B.π21,0C.π42,0D.0,33
解析:令-7x+π3=kπ2(k∈Z),
解得x=π21-kπ14(k∈Z).
当k=0时,x=π21.
故函数y的图象的一个对称中心是π21,0,故选B.
答案:B
6.已知函数f(x)=-2sinx,-1≤x≤0,tanπ4x,0
解析:因为f-π4=-2sin-π4=1,
所以ff-π4=f(1)=tanπ4=1.
答案:1
7.函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为 .
解析:利用正切型函数的最小正周期公式,可知函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为T=π2.
答案:π2
8.函数f(x)=tan x在区间-π3,π4上的最小值为 .
解析:因为正切函数在给定的定义域内单调递增,所以函数f(x)的最小值为f-π3=tan-π3=-3.
答案:-3
9.-tan6π5与tan-13π5的大小关系是 .
解析:-tan6π5=-tanπ5,tan-13π5=-tan13π5=-tan3π5.
∵0<π5<π2<3π5<π,∴tanπ5>0,tan3π5<0.
∴-tanπ5<-tan3π5,即-tan6π5
答案:-tan6π5
10.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
解:f(x)=tan|x|可化为
f(x)=tanx,x≠kπ+π2(k∈Z),x≥0,-tanx,x≠kπ+π2(k∈Z),x<0.
根据y=tan x的图象,作出f(x)=tan|x|的图象如图所示.
由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调递增区间为0,π2,kπ+π2,kπ+3π2(k∈N);单调递减区间为-π2,0,kπ-3π2,kπ-π2(k=0,-1,-2,…).
B组
1.函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是( )
A.πB.2πC.3πD.4π
解析:由题意可画出图象如图所示.
根据正切函数的对称性可知,由y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积,故S矩形ABCD=4π.
答案:D
2.函数f(x)=13tanπ2x+π4的单调递增区间为( )
A.2k-32,2k+12,k∈ZB.2k-12,2k+12,k∈Z
C.4k-12,4k+12,k∈ZD.4k-32,4k+12,k∈Z
解析:令-π2+kπ<π2x+π4<π2+kπ(k∈Z),
得-32+2k
所以函数f(x)=13tanπx2+π4的单调递增区间为-32+2k,12+2k,k∈Z.
答案:A
3.下列说法正确的是( )
A.正切函数在整个定义域上是增函数
B.正切函数在某一区间内单调递减
C.函数y=tanπ2x+π3的周期为2
D.tan 138°>tan 143°
解析:正切函数在每一个区间-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)内单调递增,没有单调递减区间;
函数y=tanπ2x+π3的周期为ππ2=2;tan 138°=-tan 42°<-tan 37°=tan 143°.故选C.
答案:C
4.函数f(x)=tan2x+π6-1在区间(0,π)内的零点是 .
解析:由tan2x+π6=1,得2x+π6=π4+kπ(k∈Z),
解得x=π24+kπ2(k∈Z).
又因为x∈(0,π),所以x=π24或13π24.
答案:π24或13π24
5.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域为 .
解析:∵-π4≤x≤π4,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4;
当t=1,即x=π4时,ymax=4.
故所求函数y的值域为[-4,4].
答案:[-4,4]
6.函数y=sin x与y=tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少?
解:因为当x∈0,π2时,tan x>x>sin x,所以当x∈0,π2时,y=sin x与y=tan x没有公共点.
画出函数y=sin x与y=tan x在区间[0,2π]上的图象如图所示,可知在区间[0,2π]上交点的个数为1.
7.设函数f(x)=tanx2-π3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解:(1)由ω=12,知函数f(x)的最小正周期T=πω=π12=2π.
令x2-π3=kπ2(k∈Z),得x=kπ+2π3(k∈Z),
故f(x)的图象的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).
(2)令x2-π3=0,则x=2π3;
令x2-π3=π4,则x=7π6;
令x2-π3=-π4,则x=π6;
令x2-π3=π2,则x=5π3;
令x2-π3=-π2,则x=-π3.
故函数y=tanx2-π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3,0,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-π3,x=5π3,从而得到函数y=f(x)在一个周期-π3,5π3内的简图如图所示.
A组
1.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则( )
A.a
2.与函数y=tan2x+π4的图象不相交的一条直线是( )
A.x=π2B.y=π2C.x=π4D.x=π8
3.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是( )
4.函数y=3tan2x+π4的定义域是( )
A.xx≠kπ+π2,k∈Z
B.xx≠kπ2-3π8,k∈Z
C.xx≠kπ2+π8,k∈Z
D.xx≠kπ2,k∈Z
5.函数y=13tan-7x+π3的图象的一个对称中心是( )
A.5π21,0B.π21,0C.π42,0D.0,33
6.已知函数f(x)=-2sinx,-1≤x≤0,tanπ4x,0
7.函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为 .
8.函数f(x)=tan x在区间-π3,π4上的最小值为 .
9.-tan6π5与tan-13π5的大小关系是 .
10.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
B组
1.函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是( )
A.πB.2πC.3πD.4π
2.函数f(x)=13tanπ2x+π4的单调递增区间为( )
A.2k-32,2k+12,k∈ZB.2k-12,2k+12,k∈Z
C.4k-12,4k+12,k∈ZD.4k-32,4k+12,k∈Z
3.下列说法正确的是( )
A.正切函数在整个定义域上是增函数
B.正切函数在某一区间内单调递减
C.函数y=tanπ2x+π3的周期为2
D.tan 138°>tan 143°
4.函数f(x)=tan2x+π6-1在区间(0,π)内的零点是 .
5.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域为 .
6.函数y=sin x与y=tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少?
7.设函数f(x)=tanx2-π3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
参考答案
A组
1.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则( )
A.a
解析:由题意可知a=tan 1>1,b=tan 2=-tan(π-2)<0,c=tan 3=-tan(π-3)<0.
∵π2>π-2>π-3>0,
∴tan(π-2)>tan(π-3)>0.
∴-tan(π-2)<-tan(π-3)<0,
∴a>0>c>b.
答案:C
2.与函数y=tan2x+π4的图象不相交的一条直线是( )
A.x=π2B.y=π2C.x=π4D.x=π8
解析:由2x+π4=π2+kπ(k∈Z),
得x=π8+kπ2(k∈Z).令k=0,得x=π8.
可知x=π8为函数y的图象的一条渐近线,即直线x=π8与函数y的图象不相交.
答案:D
3.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是( )
解析:当x=2π3时,tan12×2π3-π3=0,排除选项C和选项D;
当x=5π3时,tan12×5π3-π3=tanπ2,无意义,排除选项B;故选A.
答案:A
4.函数y=3tan2x+π4的定义域是( )
A.xx≠kπ+π2,k∈Z
B.xx≠kπ2-3π8,k∈Z
C.xx≠kπ2+π8,k∈Z
D.xx≠kπ2,k∈Z
解析:要使函数y有意义,则2x+π4≠kπ+π2(k∈Z),即x≠kπ2+π8(k∈Z),
故函数y的定义域为xx≠kπ2+π8,k∈Z,故选C.
答案:C
5.函数y=13tan-7x+π3的图象的一个对称中心是( )
A.5π21,0B.π21,0C.π42,0D.0,33
解析:令-7x+π3=kπ2(k∈Z),
解得x=π21-kπ14(k∈Z).
当k=0时,x=π21.
故函数y的图象的一个对称中心是π21,0,故选B.
答案:B
6.已知函数f(x)=-2sinx,-1≤x≤0,tanπ4x,0
解析:因为f-π4=-2sin-π4=1,
所以ff-π4=f(1)=tanπ4=1.
答案:1
7.函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为 .
解析:利用正切型函数的最小正周期公式,可知函数f(x)=tan2x-π3的最小正周期为T=π2.
答案:π2
8.函数f(x)=tan x在区间-π3,π4上的最小值为 .
解析:因为正切函数在给定的定义域内单调递增,所以函数f(x)的最小值为f-π3=tan-π3=-3.
答案:-3
9.-tan6π5与tan-13π5的大小关系是 .
解析:-tan6π5=-tanπ5,tan-13π5=-tan13π5=-tan3π5.
∵0<π5<π2<3π5<π,∴tanπ5>0,tan3π5<0.
∴-tanπ5<-tan3π5,即-tan6π5
答案:-tan6π5
10.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
解:f(x)=tan|x|可化为
f(x)=tanx,x≠kπ+π2(k∈Z),x≥0,-tanx,x≠kπ+π2(k∈Z),x<0.
根据y=tan x的图象,作出f(x)=tan|x|的图象如图所示.
由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调递增区间为0,π2,kπ+π2,kπ+3π2(k∈N);单调递减区间为-π2,0,kπ-3π2,kπ-π2(k=0,-1,-2,…).
B组
1.函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是( )
A.πB.2πC.3πD.4π
解析:由题意可画出图象如图所示.
根据正切函数的对称性可知,由y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积,故S矩形ABCD=4π.
答案:D
2.函数f(x)=13tanπ2x+π4的单调递增区间为( )
A.2k-32,2k+12,k∈ZB.2k-12,2k+12,k∈Z
C.4k-12,4k+12,k∈ZD.4k-32,4k+12,k∈Z
解析:令-π2+kπ<π2x+π4<π2+kπ(k∈Z),
得-32+2k
所以函数f(x)=13tanπx2+π4的单调递增区间为-32+2k,12+2k,k∈Z.
答案:A
3.下列说法正确的是( )
A.正切函数在整个定义域上是增函数
B.正切函数在某一区间内单调递减
C.函数y=tanπ2x+π3的周期为2
D.tan 138°>tan 143°
解析:正切函数在每一个区间-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z)内单调递增,没有单调递减区间;
函数y=tanπ2x+π3的周期为ππ2=2;tan 138°=-tan 42°<-tan 37°=tan 143°.故选C.
答案:C
4.函数f(x)=tan2x+π6-1在区间(0,π)内的零点是 .
解析:由tan2x+π6=1,得2x+π6=π4+kπ(k∈Z),
解得x=π24+kπ2(k∈Z).
又因为x∈(0,π),所以x=π24或13π24.
答案:π24或13π24
5.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4的值域为 .
解析:∵-π4≤x≤π4,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4;
当t=1,即x=π4时,ymax=4.
故所求函数y的值域为[-4,4].
答案:[-4,4]
6.函数y=sin x与y=tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少?
解:因为当x∈0,π2时,tan x>x>sin x,所以当x∈0,π2时,y=sin x与y=tan x没有公共点.
画出函数y=sin x与y=tan x在区间[0,2π]上的图象如图所示,可知在区间[0,2π]上交点的个数为1.
7.设函数f(x)=tanx2-π3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解:(1)由ω=12,知函数f(x)的最小正周期T=πω=π12=2π.
令x2-π3=kπ2(k∈Z),得x=kπ+2π3(k∈Z),
故f(x)的图象的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).
(2)令x2-π3=0,则x=2π3;
令x2-π3=π4,则x=7π6;
令x2-π3=-π4,则x=π6;
令x2-π3=π2,则x=5π3;
令x2-π3=-π2,则x=-π3.
故函数y=tanx2-π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3,0,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-π3,x=5π3,从而得到函数y=f(x)在一个周期-π3,5π3内的简图如图所示.
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