高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第2课时达标测试

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思考：y＝sin x和y＝cs x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝eq \f(π,2)，n＝π.
1．函数y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
C [因为y＝cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先增后减，所以y＝－cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上先减后增．]
2．函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(5π,6)))的值域为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [因为eq \f(π,4)≤x≤eq \f(5π,6)，所以eq \f(1,2)≤sin x≤1，即所求的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]
3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))) [当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.]
4．若cs x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
[0,2] [因为－1≤cs x≤1，要使cs x＝m－1有意义，
须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]
正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】 (1)函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
[思路点拨] (1)确定a的范围→y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cs x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝eq \f(π,4)＋2x→y＝eq \r(2)sin u的单调递增区间．
(1)(－π，0] [(1)因为y＝cs x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(2)[解] 令u＝eq \f(π,4)＋2x，函数y＝eq \r(2)sin u的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,4)＋2x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2x))＋1的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))，k∈Z.
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acs(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
1．(1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为________．
(2)已知函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，则它的单调减区间为________．
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,9)，\f(π,3))) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z) [(1)由eq \f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得eq \f(π,9)＋eq \f(2kπ,3)≤x≤eq \f(4π,9)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)．
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，
所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))，
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的单调递减区间为－eq \f(π,3)，－eq \f(2π,9)，eq \f(π,9)，eq \f(π,3).
(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
由2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，∴单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．]
利用三角函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))；
(2)sin 196°与cs 156°；
(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).
[思路点拨] eq \x(用诱导公式化简)→eq \x(\a\al(利用函数的单调,性由自变量的大,小推出对应函数,值的大小))
[解] (1)∵－eq \f(π,2)＜－eq \f(π,10)＜－eq \f(π,18)＜eq \f(π,2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10))).
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cs 156°＝cs(180°－24°)＝－cs 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cs 156°.
(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＝cseq \f(23,5)π
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3,5)π))＝cseq \f(3,5)π，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝cseq \f(17,4)π
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＝cseq \f(π,4).
∵0＜eq \f(π,4)＜eq \f(3,5)π＜π，且y＝cs x在[0，π]上是减函数，
∴cseq \f(3,5)π＜cseq \f(π,4)，
即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)π))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π)).
三角函数值大小比较的策略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))或\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin α＜sin β B．cs α＜sin β
C．cs α＜cs β D．cs α ＞cs β
(2)比较下列各组数的大小：
①cseq \f(15π,8)，cseq \f(14π,9)；②cs 1，sin 1.
(1)B [α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞eq \f(π,2)，α＞eq \f(π,2)－β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝sin β.]
(2)[解] ①cseq \f(15π,8)＝cseq \f(π,8)，cseq \f(14π,9)＝cseq \f(4π,9)，因为0＜eq \f(π,8)＜eq \f(4π,9)＜π，而y＝cs x在[0，π]上单调递减，
所以cseq \f(π,8)＞cseq \f(4π,9)，
即cseq \f(15π,8)＞cseq \f(14π,9).
②因为cs 1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))，而0＜eq \f(π,2)－1＜1＜eq \f(π,2)且y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1))＜sin 1，
即cs 1＜sin 1.
正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究问题]
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在x∈[0，π]上最小值是多少？
提示：因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函数图象可知函数的最小值为－eq \f(\r(2),2).
2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
【例3】 (1)函数y＝cs2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2)已知函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0)．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq \r(3)，最小值是－2，求a和b的值．
[思路点拨] (1)先用平方关系转化，即cs2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))求2x－eq \f(π,3)的取值范围，再求sin2x
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4,0] [y＝cs2x＋2sin x－2
＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cs2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]
(2)[解] ∵0≤x≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝eq \r(3)，
f(x)min＝－eq \f(\r(3),2)a＋b＝－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))
1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．
[解] 因为y＝cs2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，
所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，
此时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z)))).
2．将本例(1)中函数改为y＝cs2x＋sin x，x∈R结果又如何？
[解] y＝cs2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).
因为－1≤sin x≤1，
所以－1≤y≤eq \f(5,4)，
所以函数y＝cs2x＋sin x，x∈R的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,4))).
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
1y＝asin2x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.
1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．
2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.
1．思考辨析
(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．( )
(2)cs 1＞cs 2＞cs 3.( )
(3)函数y＝－eq \f(1,2)sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最大值为0.( )
[提示] (1)错误．y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数．
(2)正确．y＝cs x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cs 1＞cs 2＞cs 3.
(3)正确．函数y＝－eq \f(1,2)sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．y＝2cs x2的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
A [因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cs x2∈[－2,2]．]
3．sineq \f(2π,7)________sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))(填“＞”或“＜”)．
＞ [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,8)))＝sineq \f(π,8)，
因为0＜eq \f(π,8)＜eq \f(2π,7)＜eq \f(π,2)，y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以sineq \f(π,8)＜sineq \f(2π,7)，即sineq \f(2π,7)＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,8))).]
4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．
[解] 求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
得eq \f(π,4)＋kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)
2.掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.
2.结合函数图象，培养直观想象素养.
解析式
y＝sin x
y＝cs x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)))＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，
在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1