高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课时作业

3.3幂函数同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数m的值为

A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2

2. 已知函数是偶函数，在内单调递增，则实数     

A. 2 B.  C. 0 D.

3. 幂函数的图象如图所示，则m的值为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

4. 已知函数，则   

A. 是偶函数，且在上是增函数
B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是增函数
D. 是奇函数，且在上是减函数

5. 直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分如图所示，那么幂函数的图像在第一象限中经过   

A.  B.  C.  D.

6. 已知幂函数的图像关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

7. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m为   

A. 1 B.  C. 2 D. 或2

8. 下列不等式中成立的是

A.  B.  C.  D.

9. 若幂函数的图象经过点，则此函数在定义域上是

A. 偶函数 B. 奇函数 C. 增函数 D. 减函数

10. 函数的最小值为   

A. 3 B. 2 C.  D.

11. 幂函数是常数的图象     ．

A. 一定经过点 B. 一定经过点
C. 一定经过点 D. 一定经过点

12. 若，则不等式的解集是     

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知0，1，2，，若，则          ．
14. 若幂函数图象过点，则          ．
15. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知幂函数为偶函数．
    的值为          ；
    若，则实数a的值为          ．
17. 已知幂函数的图像过点，则          ，由此，请比较下列两个数的大小：          ．
18. 已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为          ；在区间          上单调递减．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知幂函数，且在上是减函数．

求的解析式；

若，求a的取值范围．






 

20. 已知幂函数，且在上是减函数．
    求的解析式；
    若，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知，．
    当时，求；
    试判断在的单调性，并用定义证明；
    求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，

求函数的解析式；

求函数在区间上的值域．






 

23. 已知幂函数满足．
    求函数的解析式；
    若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
    若函数，是否存在实数a，，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m的可能取值，再验证是否满足题意即可．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题．

【解答】

解：幂函数是偶函数，且在上是减函数，
所以，，
所以整数m的值可以为0，1；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
所以．
故选：A．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的应用以及幂函数的性质，属于基础题．
根据函数的奇偶性的性质求出m，结合幂函数的性质即可得到结论．

【解答】

解：函数是偶函数，
，
即，
则，
解得，解得或，
若，在内单调递减，不满足条件，
若，在内单调递增，满足条件，
故选：D．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的图象和性质，属于基础题由幂函数在第一象限的单调性可得，解得，又因为，所以或或，再由幂函数的奇偶性分别验证即可．

【解答】

解：由幂函数在第一象限的单调性可得，解得，
又因为，
所以或或，
又由图象可知是偶函数，
若，，不符合题意，
若，，符合题意，
若，，不符合题意，
综上，，
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题．
根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性．

【解答】

解：，定义域为R，且，

为奇函数，

又在上单调递增，则在上单调递减，

故选D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的图象和性质，属于中档题．
根据幂函数的性质，利用特殊值即可解答．

【解答】

解：幂函数在上单调递减，
当时，，幂函数的图象在第一象限中经过，
当时，，
当，，幂函数的图象在第一象限中经过，
故幂函数的图像在第一象限中经过，
故选：D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查幂函数，函数的奇偶性，属于基础题．
根据幂函数的定义和奇函数求出，再求解．
【解答】
解：由题意得，得或．
当时，图像关于y轴对称，不成立；
当时，是奇函数，成立
所以不等式转化为
，
解得
故 a的取值范围为．
故选D．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．

【解答】

解：函数是幂函数．
可得，解得或2．
当时，函数为在区间上递减，满足题意，
当时，函数为在上递增，不满足条件．
故选B．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用幂函数的单调性比较大小，是中档题，
可利用幂函数是R上的增函数判断各选项．

【解答】

解：因为幂函数是R上的增函数，，故，
即，
故A错、B对、C错、D错，
故选B．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的解析式，考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题，是一道基础题．
设出幂函数的解析式，求出函数的解析式，判断函数的单调性即可．

【解答】

解：设幂函数的解析式是，
则，故，
故，
故是减函数，
其定义域为，为非奇非偶函数，
故选：D．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性，函数的最值，考查学生的计算能力．
根据题意化简可得，从而由对勾函数的单调性即可求解．

【解答】

解：，则，
，
考虑对勾函数在上单调递增
故函数在上单调递增，
函数在时取得最小值为，
故选C．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的图象与性质，属于容易题，熟练掌握幂函数的图象与性质及是解题的关键．
利用幂函数的图象与性质及即可得出．

【解答】

解：取，则，
因此幂函数是常数的图象一定经过点 

故选B．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性的应用，是基础题．
先研究幂函数的定义域和单调性，再利用函数的单调性和定义域列不等式组求解即可．

【解答】

解：由知，是定义在上的增函数，
则不等式得，
，
所以不等式的解集为
故选：D．

13.【答案】或2
 

【解析】

【分析】

本题主要考查幂函数的单调性．
分析n对应的幂函数的单调性即可．

【解答】

解：由题意，在上是减函数，依次分析各元素得：
当在上是增函数，所以不符合题意；
当在上是减函数，所以符合题意；
当不是单调函数，所以不符合题意；
当在上是增函数，所以不符合题意；
当在上是减函数，所以符合题意；
当在上是增函数，所以不符合题意，
所以n的值为，2．
故答案为或2．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数，是基础题．
根据题意求出幂函数的解析式，再计算的值．

【解答】

解：幂函数图象过点，
则，解得，
；
．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

分类讨论结合函数的单调性即可得解．
本题考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，解题的时候需要注意的是题目所给的区间为开区间，属于较难题．

【解答】

解：当时，在区间上不存在最小值；
当时，函数在区间上为增函数，不存在最小值；
当时，由双勾函数的图象及性质可知，要使在区间上存在最小值，则需满足，即．
故答案为：．

16.【答案】16

或

【解析】

【分析】
本题主要考查幂函数以及函数的奇偶性，属于中档题．
根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据奇偶性进行验证，可得答案；
由知，可得，从而求出a的值．
【解答】

解：由得或3，
当时，是奇函数，不满足．
当时，，是偶函数，满足题意，
函数的解析式，
．
由和可得，
即或，
或．
故答案为16；或．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较与的大小．

【解答】

解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，，
所以．
故答案为：．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的性质和应用，属于基础题．
先设幂函数为，由幂函数的图象过解得，由此即可求出该函数的解析式，进而得到其在定义域内的单调性．

【解答】

解： 设，
则，
解得，
从而；
又该幂函数的定义域为，
则函数的在区间上单调递减．
故答案为；．

19.【答案】解：因为，
所以，解得或．
因为在上是减函数，
所以，即，
则．
故．
由可得，设，
则的定义域为，且在和上均为减函数．
因为，
所以，或或，
解得或．
故a的取值范围为．
 

【解析】本题考查幂函数的概念以及函数单调性的应用，属于中档题．
根据幂函数的定义可得，结合函数的单调性即可求出m的值；
根据函数的单调性以及定义域建立关于a的不等式即可求解．
 

20.【答案】解：函数是幂函数，
，
即，
解得或，
幂函数在上是减函数，
，
即，
，
令，因为的定义域为，且在和上均为减函数，
，
或或，
解得或，
故a的取值范围为：或．
 

【解析】根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，
令，根据其单调性即可求解结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，利用幂函数的单调性是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：当时，，；
在的单调递增，
任取，
则
，
因为，
所以，，
所以，即，
所以在的单调递增；
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立
当时，，
当时，．
当，即
当，即时，
当，即时，
当，即时，．
综上知，．
 

【解析】本题主要考查了函数值的求解，函数单调性的判断及函数值域的求解，还考查了分段函数的性质，体现了分类讨论思想的应用．
把代入已知函数解析式，先求出，进而可求；
先设，然后利用作差法比较与的大小，即可判断；
结合已知分段函数及二次函数及对勾函数的性质分类求解．
 

22.【答案】解：当时，，
则，

又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
故．

由可得，，
令，，
则，

由对勾函数的性质可得，
，
，
，

函数在区间上的值域为

【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，分段函数，函数的值域．
根据函数的奇偶性，即可求出函数在上的解析式；
由可得，，令，，则函数可化为，利用对勾函数的性质求出，即可求出的值域．
 

23.【答案】解：是幂函数，
得，解得：或
当时，，不满足．
当时，，满足．
故得，函数的解析式为；
由函数，即，
令，
，
，
记，
其对称轴在，
当，即时，则，解得：；
当时，即，则，解得：，不满足，舍去；
当时，即时，则，解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为0；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数存在实数a，，使函数在上的值域为
则
两式相减：可得：．

将代入得，
令，
，
，
得：
故得实数n的取值范围．
 

【解析】根据是幂函数，可得，求解p，再根据可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，转化为方程有解问题求解n的取值范围．
本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，掌握分类讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．