高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数达标测试
展开人教A版（2019）必修一3.3幂函数
（共21题）
一、选择题（共13题）
- 下列函数是幂函数的是
A． B． C． D．
- 下列幂函数在区间 上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是
A． B． C． D．
- 函数 与 的图象只可能是
A． B．
C． D．
- 下列幂函数中过点 ， 的偶函数是
A． B． C． D．
- 已知 是幂函数，则 的值为
A． B． C． 或 D．
- 若幂函数 对于给定的有理数 ，其定义域与值域相同．则此幂函数
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定不是奇函数 D．一定不是偶函数
- 若幂函数 的图象经过点 ，则 在定义域内
A．为增函数 B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值
- 已知函数 是幂函数，若 为增函数，则 等于
A． B． C． D． 或
- 已知点 在幂函数 的图象上，则
A． B． C． D．
- 已知幂函数 的图象过点 ，则该函数的解析式为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
- 函数 的图象大致是
A． B． C． D．
- 己知幂函数 的图象过点 ，则函数 的解析式为
A． B． C． D．
- 已知幂函数 （，，，且 ， 互质）的图象如图所示，则
A． ， 均为奇数，且
B． 为奇数， 为偶数，且
C． 为偶数， 为奇数，且
D． 为偶数， 为奇数，且
二、填空题（共4题）
- 已知 是幂函数，则 ， ．
- 若幂函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 ．
- 当 时，幂函数 为减函数，则实数 的值为 ．
- 若幂函数 的图象不过原点，则 ．
三、解答题（共4题）
- 设点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上．问：当 为何值时，？
- 设函数 ，根据下列条件分别求出 的值：
(1) 该函数为二次函数；
(2) 该函数为幂函数，且在区间 上是严格减函数．
- 已知函数 ，．
(1) 证明 是奇函数，并求函数 的单调区间．
(2) 分别计算 和 的值，由此概括出 和 对所有不等于 的实数 都成立的一个等式，并加以证明．
- 已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，求函数 的解析式，并讨论 的奇偶性．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】由幂函数的概念可知D正确．
2. 【答案】C
3. 【答案】C
【解析】对于A，直线对应函数 ，曲线对应函数为 ，，故A错；
对于B，直线对应函数为 ，曲线对应函数为 ，，故B错；
对于C，直线对应函数为 ，曲线对应函数为 ，，故C对；
对于D，直线对应函数为 ，曲线对应函数为 ，，故D错．
4. 【答案】B
5. 【答案】A
【解析】由题意得 解得 ．
6. 【答案】D
【解析】由于偶函数的图象关于 轴对称，并且定义域关于原点对称，故定义域和值域不可能相同．
7. 【答案】C
【解析】易知 ，则 ，，
所以函数有最小值．
8. 【答案】C
【解析】函数 是幂函数，则 ，解得 或 ，又 为增函数，则 满足条件，即 的值为 ．
9. 【答案】B
【解析】因为点 在幂函数 的图象上，
所以 ，且 ，
解得 ，，
所以 ．
10. 【答案】A
【解析】设幂函数 ，因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，．
11. 【答案】B
【解析】由于 ，故可排除选项 ，．根据幂函数的性质可知，当 时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项 ，只有选项 正确．
12. 【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为 ，
因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
13. 【答案】D
【解析】因为图象关于 轴对称，
所以函数为偶函数，
所以 为偶数， 为奇函数．
由图象在第一象限内缓慢递增，知 ．
故选D．
二、填空题（共4题）
14. 【答案】 ；
【解析】由题意得 解得
15. 【答案】
【解析】因为幂函数 在 上是减函数，
所以 ，解得 ．
故答案为 ．
16. 【答案】
【解析】由幂函数的定义得 ，解得 或 ，
又因为该幂函数在 时为减函数，
当 时，函数化为 不符合题意，而 时， 符合题意，故 ．
17. 【答案】
【解析】因为幂函数 的图象不过原点，
所以
解得 ．
三、解答题（共4题）
18. 【答案】由题意，可解得 ，．
又由 ，可解得 或 ．
19. 【答案】
(1) 由题意，知 即 得 ．
(2) 由题意，知 即 得 ．
20. 【答案】
(1) 因为函数 的定义域是 ，
所以定义域关于原点对称．
又因为 ，
所以函数 是奇函数．
在 上任取 ，，且 ，
则 ，，从而 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
又因为 是奇函数，
所以 在 上也单调递增．
故函数 的单调递增区间为 ，．
(2) ，
．
由此可推测出一个等式 （）．证明如下：
．
故 （）成立．
21. 【答案】由 在 上单调递减，得 ，所以 ．
因为 ，所以 或 ．
因为 是偶函数，所以只有当 时符合题意，故 ．
于是 ，，
且 的定义域为 ，关于原点对称．
当 且 时， 既不是奇函数也不是偶函数；
当 且 时， 是奇函数；
当 且 时， 是偶函数；
当 且 时， 既是奇函数又是偶函数．
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