2020-2021学年4.2 指数函数同步练习题

4.2指数函数同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，，，则的大小关系为   

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数是指数函数的是 

A.  B.  C.  D.

3. 函数是指数函数，则有 

A. 或 B.
C.  D. ，且

4. 函数是指数函数，则实数   

A. 2 B. 1 C. 3 D. 2或

5. 函数是指数函数，则 

A. 8 B.  C. 4 D. 2

6. 若指数函数在上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 

A.  B.  C.  D.

7. 函数是指数函数，则a的值为 

A. 1或2 B. 1
C. 2 D. 且的所有实数

8. 下列函数一定是指数函数的是 

A.  B.  C.  D.

9. 下列函数：；；；且其中，指数函数的个数是 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 如图，，，，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为    

A.  B.
C.  D.

11. 函数在上的最大值与最小值和为3，则函数在上的最大值是 

A. 6 B. 1 C. 3 D.

12. 若函数是指数函数，则a的取值范围是

A.  B. ，且
C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是          ．
14. 函数，且的图象过定点          ．
15. 若指数函数的图象经过点，则解析式为          
16. 已知函数的图象与直线有两个公共点，则a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 函数的定义域为          ，值域为          ．
18. 若函数为指数函数，则a的值为          ，函数在上的最大值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数且，．

判断并证明函数的奇偶性；

求不等式的解集．






 

20. 已知函数．

求函数的定义域、值域；

确定函数的单调区间．






 

21. 已知函数，且．

求m的值，并指出函数在R上的单调性只需写出结论即可；

证明：函数是奇函数；

若，求实数m的取值范围．






 

22. 已知函数是奇函数．
    求a，b的值；
    证明：是区间上的减函数；
    若，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知定义在R上的函数．
    若是奇函数，求函数的零点；
    是否存在实数k，使在上单调递减且在上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可得三个数的大小关系．

本题考查指数函数的单调性，属于容易题．

【解答】

解：，，因为，在R上单调递增，

故，即．

故选：B．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的概念与表示，属于基础题．

根据指数函数的定义，依次判断即可．

【解答】

解：根据指数函数的定义：形如且的函数叫做指数函数，
A中，符合指数函数的定义，是指数函数；
B中，不符合指数函数的定义，不是指数函数；
C中，不符合指数函数的定义，系数为，不是指数函数；
D中，不符合指数函数的定义，不是指数函数．
故选A．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的定义的应用，其中熟记指数函数的基本概念是解答的关键，属于基础题．

由函数为指数函数，根据指数函数的定义，列出方程组，即可求解．

【解答】

解：函数是指数函数，
，解得．
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的概念，属于基础题．

根据指数函数的定义，得，即可求解实数m的值．

【解答】

解：由指数函数的定义，得，解得或，
故选D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的定义的应用，其中熟记指数函数的基本概念是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．

由函数是指数函数，根据指数函数的定义，列出方程组，即可求解．

【解答】

解：函数是指数函数，

，
解得；
，
．
故选D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

指数函数单调性不确定，有两种可能，讨论求解即可．

本题考查指数函数单调性，基础题．

【解答】

解：指数函数在上的最大值与最小值的差是1，

则 ，当时，解得；
当时，解得，
故．

故选D．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数的概念及表示，属于基础题．

根据指数函数的解析式，需满足即可．

【解答】

解：是指数函数，
，解得．
故选C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数的概念与表示．
根据指数函数的解析式，且，逐项分析即可．

【解答】

解：A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；

B：是幂函数，故错误；

C：中指数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；

D：是指数函数，故正确．

故选D．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的定义，属于基础题．
根据指数函数解析式的特点对题中四个函数是否为指数函数进行判断．

【解答】

解：函数是二次函数；
函数底数小于0，故不是指数函数；
函数指数部分为，故不是指数函数；
且，
可得出且，则是指数函数．
故指数函数的个数为1，

故选：A．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的图象与性质，属于中档题．
可在图象中作出直线，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a、b、c、d与1的大小关系，选出正确选项．

【解答】

解：由图，直线与四条曲线的交点坐标从下往上依次是，，，，

故有，
故选：B．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．
本题要分两种情况进行讨论：，函数在上为单调减函数，根据函数在上的最大值与最小值和为3，求出，函数在上为单调增函数，根据函数在上的最大值与最小值和为3，求出a，最后代入函数，即可求出函数在上的最大值．

【解答】

解：当时：
函数在上为单调减函数，
函数在上的最大值与最小值分别为1，a，
函数在上的最大值与最小值和为3，
，
舍
当时：
函数在上为单调增函数，
函数在上的最大值与最小值分别为a，1，
函数在上的最大值与最小值和为3，
，
，
函数在上的最大值是3，
故选C．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．
利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．

【解答】

解：因为函数是指数函数，
得：，化简得
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的性质，指数不等式，不等式恒成立问题和分类讨论思想．
根据指数函数的性质将已知条件转化为不等式对一切实数x恒成立，注意对a进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质求解．

【解答】

解：根据题意，因为不等式对一切实数x恒成立，
根据指数函数是R上的增函数，
那么只需，即对一切实数x恒成立即可．
当时，显然恒成立；
当时，根据二次函数的性质可得，且，
解得．
综上可知，满足题意的a的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查指数型函数图象恒过定点问题，是基础题．
由指数式的指数等于0求解x值，进一步求得y值得答案．

【解答】

解：由，得，此时．
函数且图象一定过点．
故答案是．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的概念，属于基础题．
结合指数函数的定义可利用待定系数法求解．

【解答】

解：设所求指数函数为，
因为指数函数的图象经过点，
所以，得，
所以指数函数为，
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

画出函数的图象，根据图象即可得到函数的图象与直线有两个公共点时，a的取值范围．
本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据指数函数的图象及函数图象的变换法则，得到函数的图象，数形结合即可得到答案．

【解答】

解：的图象如下图所示：

由图可知：当时，函数的图象与直线有两个公共点，
故答案为：．

17.【答案】  

【解析】

【分析】

本题考查了求指数型复合函数的定义域、值域，属于中档题．
令，即可求定义域，令，求t的范围，再求的范围即可．

【解答】

解：由题意可得，解得：，

所以函数的定义域为：，

令，则，且，即，

故函数的值域为，

故答案为：；

18.【答案】3   

3

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的解析式，以及利用指数函数的单调性求最值．

由函数为指数函数可求出a，利用指数函数的单调性求最大值即可．

【解答】

解：因为函数为指数函数，

所以，即，
又，且a，

解得或舍去

因为为R上的单调递增函数，

所以当时，函数在上的最大值为3．

故答案为：3；3

19.【答案】解：，解得舍去或，
所以 
因为的定义域为R，且，
所以为奇函数．
因为在R上单调递增，在R上单调递减，
所以在R上单调递增， 
不等式，即 
因为为奇函数，所以 
又因为为增函数，所以，  解得， 
所以不等式的解集为．
 

【解析】本题主要考查了函数的奇偶性，指数函数的单调性，不等式求解．
由，求出a的值，求出定义域，并得出，确定函数为奇函数；
先得出函数为增函数，利用奇函数和增函数的性质得出，求解出x的范围．
 

20.【答案】解：设，
由于函数及的定义域都是R，
故函数的定义域为R．

因为，
又函数在R上单调递减，
所以，又，
故函数的值域为．

函数在上单调递增，
即对任意的，，且，有，
从而，即，
所以函数在上单调递减．

同理可知在上单调递增．

综上，函数的单调增区间是；单调减区间是．

【解析】本题考查函数的定义域与值域，复合函数的单调性，涉及指数函数与二次函数，考查运算能力，属于中档题．
易得定义域为R，由二次函数的最值和指数函数的单调性，可得值域；
运用换元法和复合函数的单调性：同增异减，求得二次函数的单调区间，即可得到所求单调区间．
 

21.【答案】解：因为，所以，即，

因为，所以．

函数在上为单调递增．

由知定义域为．

对任意，都有．

所以函数是奇函数，

不等式等价于，

因为函数是奇函数，

所以，

又因为函数在上单调递增，

所以，即．

解得．

所以实数m的取值范围为．

【解析】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于较难题．
由，代入解析式，解方程求出m的值，结合指数型函数的单调性即可求解．

利用函数的奇偶性定义即可判断．

利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数在上单调递增可得，解不等式即可求解．

22.【答案】解：函数是奇函数，
所以恒成立，即，
整理得，
所以，
因为，解得，
所以，，经检验，满足函数是奇函数，
故，；
证明：由得，，
设任意，，且，
则，
因为，所以，所以，
而，，
所以，
所以，即，
所以是区间上的减函数．
 解：，所以，
因为函数是奇函数，所以，
因为函数是区间上的减函数，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是
 

【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，属于拔高题．
由奇函数的定义可得可求得a值，由定义域关于原点对称可求得b值；
利用函数单调性的定义即可证明；
利用函数的奇偶性与单调性列不等式组，即可求得m的取值范围．
 

23.【答案】解：因为是奇函数，所以，
即，可得，
所以，
令，
即，
所以，解得，
即函数的零点为．
当时，函数在R上单调递增，不符合题意；
当时，令，当时，，当时，，
因为在上单调递减且在上单调递增，
所以在上单调递减且在上单调递增，
所以，
解得，
故存在实数使在上单调递减且在上单调递增．
 

【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于中档题．
由奇函数的定义可求得k，令即可求得零点；
对k分类讨论，由复合函数的单调性及对勾函数的性质即可求解．