人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数随堂练习题，共5页。

1.在下列函数中，定义域和值域不同的是( )
A．y＝x eq \s\up6(\f(1,3))B．y＝x eq \s\up6(\f(1,2))
C．y＝x eq \s\up6(\f(5,3)) D．y＝x eq \s\up6(\f(2,3))
解析：选D．A，C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞).故选D．
2.已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m与n的大小不确定
解析：选B．设f(x)＝x－1，已知a≠0，则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2＋3)3.已知a＝1.2 eq \s\up6( eq \f(1,2))，b＝0.9 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))，c＝ eq \r(1.1)，则( )
A．cC．b解析：选A．b＝0.9 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up12(－\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9))) eq \s\up12( eq \f(1,2))，c＝ eq \r(1.1)＝1.1 eq \s\up6( eq \f(1,2))，因为f(x)＝x eq \s\up6( eq \f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增且1.2> eq \f(10,9)>1.1，所以1.2 eq \s\up6( eq \f(1,2))> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9))) eq \s\up12( eq \f(1,2))>1.1 eq \s\up6( eq \f(1,2))，即a>b>c.
4.已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是( )
A．0<α<1 B．α<0
C．α<1 D．α>1
解析：选C．由幂函数的图象特征知α<1.
5.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1
解析：选B．在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m＜1，n＜－1.
6.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
则f(x)的单调递增区间是_________．
解析：因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(\r(2),2)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(α)＝ eq \f(\r(2),2)，即α＝ eq \f(1,2)，
所以f(x)＝x eq \s\up6( eq \f(1,2))的单调递增区间是[0，＋∞).
答案：[0，＋∞)
7.已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是_________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.
答案：α＜0
8.已知幂函数f(x)＝x eq \s\up6(m2－2m－3) (m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝_________．
解析：因为幂函数f(x)＝x eq \s\up6(m2－2m－3) (m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，又m∈Z所以m＝1.
答案：1
9.已知函数y＝(a2－3a＋2)x eq \s\up6(a2－5a＋5) (a为常数)，问：
(1)当a为何值时，此函数为幂函数？
(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？
(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？
解：(1)由题意知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，
解得a＝ eq \f(3±\r(5),2).
(2)由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－5a＋5＝1，,a2－3a＋2≠0，))解得a＝4.
(3)由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－5a＋5＝－1，,a2－3a＋2≠0，))解得a＝3.
10.已知幂函数f(x)＝xa的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，函数g(x)＝(x－2)f(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤1))，求函数g(x)的最大值与最小值．
解：因为f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，所以 eq \f(1,2)＝2a，
所以a＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝ eq \f(x－2,x)＝1－ eq \f(2,x).
又g(x)＝1－ eq \f(2,x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是增函数，所以g(x)min＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－3，
g(x)max＝g(1)＝－1.
[B 能力提升]
11.给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝ eq \r(x)；⑤f(x)＝ eq \f(1,x).其中满足条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))> eq \f(f(x1)＋f(x2),2)(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1B．2
C．3 D．4
解析：选A．①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；④函数f(x)＝ eq \r(x)的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))> eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；⑤在第一象限，函数f(x)＝ eq \f(1,x)的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(f(x1)＋f(x2),2).故仅有函数f(x)＝ eq \r(x)满足当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))> eq \f(f(x1)＋f(x2),2).故选A．
12.(多选)下列不等式在a＜b＜0的条件下能成立的是( )
A．a－1＞b－1 B．a eq \s\up6(\f(1,3))＜b eq \s\up6(\f(1,3))
C．b2＜a2 D．a eq \s\up6(－ eq \f(2,3))＞b eq \s\up6(－ eq \f(2,3))
解析：选ABC．分别构造函数y＝x－1，y＝x eq \s\up6(\f(1,3))，y＝x2，y＝x eq \s\up6(－ eq \f(2,3))，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，而y＝x eq \s\up6(\f(1,3))，y＝x eq \s\up6(－ eq \f(2,3))为(－∞，0)上的增函数，故D不成立．
13.已知幂函数f(x)＝(m－1)2x eq \s\up6(m2－4m＋2)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)m的值为________；
(2)当x∈[1，2]时，记f(x)的值域为集合A，若集合B＝[2－k，4－k]，且A∪B＝A，则实数k的取值范围为_________．
解析：(1)因为f(x)为幂函数，所以(m－1)2＝1，所以m＝0或2.
当m＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足题意．当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意，舍去．所以m＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x2.
因为f(x)在[1，2]上单调递增，所以A＝[1，4].
因为B＝[2－k，4－k]，A∪B＝A，所以B⊆A，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－k≥1，,4－k≤4，))解得0≤k≤1.
故实数k的取值范围为[0，1].
答案：(1)0 (2)[0，1]
14.已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N*)的图象关于原点对称，且在R上单调递增．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围．
解：(1)由题可知，函数在R上单调递增，所以9－3m>0，解得m<3.
又m∈N*，所以m＝1，2.
又函数图象关于原点对称，所以9－3m为奇数，故m＝2.
所以f(x)＝x3.
(2)因为f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
所以f(a＋1)<－f(3a－4).
因为f(x)为奇函数，所以f(a＋1)又函数在R上单调递增，所以a＋1<4－3a.
所以a< eq \f(3,4).所以a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4))).
[C 拓展探究]
15.已知幂函数f(x)＝x eq \s\up6(－ eq \f(1,2)p2＋p＋ eq \f(3,2)) (p∈N)在(0，＋∞)上是增函数且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf[f(x)]＋(2q－1)f(x)＋1，问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数且在区间(－4，0)上是增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由幂函数的图象和性质知－ eq \f(1,2)p2＋p＋ eq \f(3,2)＞0，解得－1＜p＜3.
因为p∈N，所以p＝2，1，0.
当p＝0或p＝2时，f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,2))，不是偶函数；
当p＝1时，f(x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f(x)＝x2.
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0).因为t＝x2在(－∞，0)上是减函数，所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16).当h(t)在[16，＋∞)上是增函数，在(0，16)上是减函数时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，在(－4，0)上是增函数，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝ eq \f(－(2q－1),2(－q))＝1－ eq \f(1,2q)＝16，所以q＝－ eq \f(1,30).故存在实数q＝－ eq \f(1,30)，使得g(x)在(－∞，－4]上是减函数且在(－4，0)上是增函数．x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)