高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精练

人教A版（2019）必修一3.3幂函数

（共21题）

一、选择题（共13题）

1. 幂函数 ，及直线 ，， 将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么，而函数 的图象在第一象限中经过的“卦限”是

 A．Ⅳ，Ⅶ B．Ⅳ，Ⅷ C．Ⅲ，Ⅷ D．Ⅲ，Ⅶ

2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递增的函数是

 A．  B．  C．  D．

3. 已知点 在幂函数 的图象上，则  

 A．  B．  C．  D．

4. 若幂函数 是偶函数，且 时为减函数，则实数 的值可能为

 A．  B．  C．  D．

5. 设 ，则“ 图象经过点 ”是“ 是偶函数”的

 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

6. 已知函数 ．关于 的性质，给出下面四个判断：

① 的定义域是 ；

② 的值域是 ；

③ 是减函数；

④ 的图象是中心对称图形．

其中正确的判断是

 A．① B．② C．③ D．④

7. 函数 是幂函数，则下列结论正确的是

 A．  B．

 C．  D．以上都不对

8. 下列命题中，正确的是

 A．当 时，函数 的图象是一条直线

 B．幂函数的图象都经过 和 点

 C．若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数

 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限

9. 已知函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数 的值是

 A． 或  B．  C．  D．

10. 已知 是幂函数，对任意 ，，且 ，满足 ．若 ，，且 ，则 的值

 A．恒大于  B．恒小于  C．等于  D．无法判断

11. 已知幂函数 的图象过点 ，设 ，，，则

 A．  B．  C．  D．

12. 已知幂函数 ，若 在其定义域上为增函数，则 等于

 A． ，  B．  C．  D． ，

13. 设 是定义在 上的函数若存在两个不等实数 ，使得 ，则称函数 具有性质 ，那么下列函数：；；；．

不具有性质 的函数为

 A．  B．  C．  D．

二、填空题（共4题）

14. 设 ，则使 为奇函数且在 上单调递减的 的值可以为    ．

15. 有下列函数：

① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．

其中，是幂函数的有    ．（填序号）

16. 已知幂函数 ，则     ．

17. 已知幂函数 ，若 ，则 的取值范围是    ．

三、解答题（共4题）

18. 研究函数 的定义域，并作出其大致图象，根据图象判断其单调性并写出单调区间．

19. 已知函数 ，．

(1)  当 时，求函数 的最大值和最小值；

(2)  求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．

20. 已知幂函数 的图象经过点 ，试确定 的值，并求满足条件 的实数 的取值范围．

21. 设函数 ，根据下列条件分别求出 的值：

(1)  该函数为二次函数；

(2)  该函数为幂函数，且在区间 上是严格减函数．

答案

一、选择题（共13题）

1.  【答案】B

2.  【答案】C

【解析】由于 和 都是奇函数，故B，D不合题意．

  在 上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意．

  为偶函数，且在 上单调递增．

3.  【答案】B

【解析】因为点 在幂函数 的图象上，

所以 ，且 ，

解得 ，，

所以 ．

4.  【答案】A

【解析】 是偶函数，则由选项知 的值可能为 或 ．

又 时为减函数，则 ．

5.  【答案】C

6.  【答案】D

【解析】函数 的图象可由函数 向右平移一个单位得到，所以值域为 ；单调减区间为 ，；对称中心为 ，故 ④正确．

7.  【答案】A

【解析】因为 为幂函数，所以 所以

所以 ，

所以 在 上单调递增，且 ，

所以 ．

8.  【答案】D

【解析】当 时， 是 （不包含点 ），故A错误；

  不过点 ，故B错误；

  是奇函数，但在定义域上不是增函数，故C错误．

综上，故选D．

9.  【答案】C

【解析】因为 是幂函数，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

所以 或 ，

因为 在 上为减函数，

所以 ，

当 时，，

当 ，，

故 ．

10.  【答案】A

【解析】因为 是幂函数，

所以 ，解得 或 ．

又因为对任意 ，，且 ，满足 ，

所以 在 上是增函数，

所以 ．

当 时，，满足题意；

当 时，，不满足题意．

所以 ，易知 是定义在 上的奇函数，且是增函数．

因为 ，，且 ，

所以 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

所以 ．

11.  【答案】A

【解析】因为幂函数 的图象过点 ，

所以 解得

所以 ，

所以 在 上是增函数．

又 ，

所以 ，

所以 ，即 ．

12.  【答案】C

【解析】依题意得 ，即 ，解得 或 ．

当 时，，在 上不是增函数，不符合题意；

当 时，，在 上是增函数，故选C．

13.  【答案】D

【解析】 选择的两点关于原点对称即可，如图（），， 满足；

  同 ，选择的两点关于原点对称即可，如图（）；

  如图， 与 的交点满足题意，当然，其他点对也有满足；

  没有满足的点对，

证明：假设存在 ，使得：，即：，

又 ，故不存在．

二、填空题（共4题）

14.  【答案】

【解析】因为 为奇函数，

所以 ．

又因为 在 上为减函数，

所以 ．

15.  【答案】④⑤⑦

【解析】①中， 的系数为 ，故不是幂函数；

②中， 不是 的形式，故不是幂函数；

③中，，系数是 ，故不是幂函数；

④中， 是幂函数；

⑤中， 是幂函数；

⑥中， 的底数是常数，指数是自变量，故不是幂函数；

⑦中， 是幂函数；

⑧中， 系数是 ，故不是幂函数．

综上所述，是幂函数的有④⑤⑦．

答案④⑤⑦．

16.  【答案】

【解析】由已知函数 为幂函数，故 ，所以 ，所以 ．故 ，所以 ．

17.  【答案】

【解析】因为 ，易知 在 上为减函数，

又 ，

所以

解得

所以 ．

三、解答题（共4题）

18.  【答案】 ，所以此函数的定义域为 ，

此函数的图象如图所示．

根据图象可知， 在区间 上是严格增函数；在区间 上是严格减函数．

19.  【答案】

(1)  当 时，

 ，，

所以当 时， 取得最小值 ；

当 时， 取得最大值 ．

(2)  函数 的图象的对称轴为直线 ，

因为 在区间 上是单调函数，

所以 或 ，即 或 ．

故 的取值范围是 ．

20.  【答案】因为幂函数 过点 ，

所以 ，故 ，

由于 ，

故上式解得 ．

所以 ．

函数 的定义域为 ，且在定义域上为增函数，

由 ，得

解得 ，

所以 的取值范围是 ．

21.  【答案】

(1)  由题意，知 即 得 ．

(2)  由题意，知 即 得 ．