高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数习题

人教A版2019必修一3.3幂函数同步练习

一、单选题

1.已知幂函数 在 上是减函数，则 的值为（    ）           

A. -3                                         B. 1                                         C. 2                                         D. 1或2

2.已知幂函数 的图象通过点 ，则该函数的解析式为（    ）           

A.                               B.                               C.                               D. 

3.下列幂函数在区间 内单调递减的是（    ）           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

4.若幂函数 在 上是增函数，且在定义域上是偶函数，则 =（    ）           

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

5.已知幂函数 在 上单调递减，则 （    ）           

A.                                         B.                                         C. 32                                        D. 64

6.若幂函数的图象过点 （2，） ，则它的单调递增区间是(   )           

A. (0，＋∞)                         B. [0，＋∞)                         C. (－∞，＋∞)                         D. (－∞，0)

7.已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则 的取值范围是（    ）           

A.                            B.                             C.                                 D. 

8.已知幂函数   在第一象限的图象如图所示，则（    ） 

A.                         B.                         C.                         D. 

二、多选题

9.已知幂函数 ，则下列结论正确的有（    ）           

A.      B.  的定义域是   
C.  是偶函数        D. 不等式 的解集是   

10.已知幂函数 图像经过点 ，则下列命题正确的有（    ）           

A. 函数为增函数                                                     B. 函数为偶函数
C. 若 ，则                            D. 若 ，则

11.已知幂函数 的图像如图所示，则a值可能为（    ） 

A.                                           B.                                           C.                                           D. 3

12.下列命题为真命题的是（    ）           

A. 函数 在区间 上的值域是
B. 当 时， ，
C. 幂函数的图象都过点
D. “ ”是“ ”的必要不充分条件

三、填空题

13.已知幂函数 的图象关于y轴对称，则m的值为________.   

14.不等式 的解集为________.   

15.已知幂函数 的图像如右图所示，那么实数m的值是________． 

16.下列说法中，正确的是________．（填序号） 

①任取 ，均有 ；②当 ，且 时，有 ；③ 是增函数；④ 的最小值为1；⑤在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对称．

四、解答题

17.比较下列各组数中两个数的大小．   

（1） 与 ；   

（2）3 与3.1 ；   

（3） 与 ；   

（4）0.20.6与0.30.4.   

18.已知函数 为幂函数，且为奇函数.   

（1）求 的值；   

（2）求函数 在 的值域.   

19.已知幂函数 在区间 上单调递增.   

（1）求 的解析式；   

（2）用定义法证明函数 在区间 上单调递减.   

20.已知幂函数 .   

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；   

（2）若该函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．   

21.已知函数 ，满足 ．   

（1）求 的值并求出相应的 的解析式；   

（2）对于（1）中的函数 ，使得 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．   

22.已知幂函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 .   

（1）求 的值及函数 的解析式；   

（2）若 ，求实数 的取值范围.   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解】因为函数是幂函数，

所以   ，

所以 或   ，

当 时 在 上是增函数，不合题意，

当 时 在 上是减函数，成立，

故答案为：B。

 
2.【答案】 C  

【解】设幂函数 的解析式为

∵幂函数 过点

∴

∴

∴该函数的解析式为

故答案为：C

3.【答案】 D  

【解】 、 、 在区间 内单调递增， 在区间 内单调递减，

故答案为：D。

4.【答案】 C  

【解】因为 是幂函数，所以 ；

又 在 上是增函数，

所以 ，解得 ，因为 ，

所以 或 或 ，

当 时， ，因为 ，所以 是奇函数，不满足题意，舍去；

当 时， ，因为 ，所以 是偶函数，满足题意；

当 时， 是奇函数，不满足题意，舍去；

故 ，所以 .

故答案为：C.

 
5.【答案】 B  

解：由 是幂函数可知 ，

即 ，解得 或 ，

所以 或 ，

又因为幂函数 在 上单调递减，

所以 ，所以 。

故答案为：B.

 
6.【答案】 D  

【解】设y＝xa  ， 则 ＝2a  ， 解得a＝－2，

∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)．

故答案为：D.

7.【答案】 C  

解：因为幂函数 的图像过点 ，

所以 ，所以 ，所以 ，

由于函数 在 上单调递增，

所以 ，解得： ．

故 的取值范围是 .

故答案为：C.

 
8.【答案】 B  

【解】由图象可知，当 时， ，则

故答案为：B

二、多选题

9.【答案】 A,C,D  

【解】因为函数是幂函数，所以 ，得 ，即 ，

，A符合题意；函数的定义域是 ，B不正确；

，所以函数是偶函数，C符合题意；

函数 在 是减函数，不等式 等价于 ，解得： ，且 ，得 ，且 ，即不等式的解集是 ，D符合题意.

故答案为：ACD

10.【答案】 A,C  

【解】设幂函数

将点(4,2)代入函数 得： ，则 .

所以 ，

显然 在定义域 上为增函数，所以A符合题意.

的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以B不正确.

当 时， ，即 ，所以C符合题意.

当若 时，

.

即 成立，所以D不正确.

故答案为：AC

11.【答案】 A,C  

【解】由图可知， 定义域为R，且为奇函数，B不符合题意；

可知 在 上凸递增，则 ，D不符合题意.

故答案为：AC.

12.【答案】 B,C,D  

解：对于A，因为对勾函数 在区间 上单调递增，所以函数的值域为 ，所以A错误；

对于B，当 时， ，所以方程 一定有解，所以 ， 成立，所以B正确；

对于C，幂函数的图像恒过 ，所以C正确；

对于D，因为 ，所以 等价于 ，得 ，因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以D正确，

故答案为：BCD

三、填空题

13.【答案】 2  

【解】由于 是幂函数，所以 ，解得 或 .

当 时， ，图象关于 轴对称，符合题意.

当 时， ，图象关于原点对称，不符合题意.

所以 的值为2.

故答案为：2

14.【答案】 （-1,0）  

【解】不等式 等价于

因为 在 上单调递增，

所以 ，化简得：

所以 .

故答案为：（-1,0）.

15.【答案】 -2  

解：由题意得：,
∴  ，
∴m=-2.
故答案为：-2.

16.【答案】 ①④⑤  

【解】①任取 ，则由幂函数的单调性：幂指数大于 ，函数值在第一象限随着 的增大而增大，可得，均有 .故①对；②运用指数函数的单调性，可知 时， ， 时， .故②错；③ 即 ，由于 ，故函数是减函数。故③错；④由于 ，可得 ，故 的最小值为 ，故④对；⑤由关于 轴对称的特点，可得：在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对称，故⑤对，

故答案为：①④⑤.

四、解答题

17.（1）解：)函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，

又 > ，∴ >

（2）解：y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，

又3<3.1，∴3 >3.1

（3）解：函数y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，

又 > ，

∴ <

（4）解：函数取中间值0.20.4  ， 函数y＝0.2x在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4；

又函数y＝x0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.

∴0.20.6<0.30.4  

18. （1）解：因为函数 为幂函数，  

所以 ，解得 或 .

即 或 .

又因为函数 为奇函数，所以 ， .

（2）解： ，  

设 ，因为 ，所以 ， .

所以 ，

当 时， ，当 时， ，故值域为 .

19.（1）解：由题可知： ，解得 或 .  

若 ，则 在区间 上单调递增，符合条件；

若 ，则 在区间 上单调递减，不符合条件.

故

（2）证明：由（1）可知， .  

任取 ， ，且 ，

则 .

因为 ，

所以 ， ， ，

所以 ，

即 ，故 在区间 上单调递减

20.（1）解：m为正整数，则：m2+m＝m（m+1）为偶数，令m2+m＝2k，则： 

，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增．

（2）解：由题意可得： ，  

求解关于正整数m的方程组可得：m＝1（m＝﹣2舍去），

则： ，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得：

2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是： ．

21.（1）解：由 ，则 ，解得 ，  

又 ，则 ， ．

当 ， 时， ．

（2）解：由 ，  

当 时单调只需： 或 ，

则 或 ．

22.（1）解：由题意，函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，且 ，  

所以在区间 为单调递减函数，

所以 ，解得 ，

又由 ，且函数 （实数 ）的图像关于 轴对称，

所以 为偶数，所以 ，

所以 .
（2）解：因为函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递减函数，  

所以不等式 ，等价于 且 ，

解得 或 ，

所以实数 的取值范围是 .