高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数达标测试，共8页。试卷主要包含了幂函数的概念，幂函数的图象，幂函数的性质，比较下列各组数的大小等内容，欢迎下载使用。


1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1 C．3 D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________.
eq \f(1,2) [由f(2)＝eq \f(\r(2),2)可知2α＝eq \f(\r(2),2)，即α＝－eq \f(1,2)，
∴f(4)＝4eq \s\up15(－\f(1,2))＝eq \f(1,2).]
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.
1．(1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值等于________．
(1)B (2)eq \f(1,3) [(1)∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝lg23，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg23＝eq \f(1,3).]
幂函数的图象及应用
【例2】 点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝xeq \s\up5(\f(1,2))或y＝x3来判断.
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2eq \s\up5(\f(1,2))，0.9eq \s\up5(－\f(1,2))，eq \r(1.1).
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解．
[解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9eq \s\up5(－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))eq \s\up8(\f(1,2))，eq \r(1.1)＝1.1eq \s\up5(\f(1,2)).
∵1.2>eq \f(10,9)>1.1，且y＝xeq \s\up5(\f(1,2))在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2eq \s\up5(\f(1,2))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)))eq \s\up8(\f(1,2))>1.1eq \s\up5(\f(1,2))，即1.2eq \s\up5(\f(1,2))>0.9eq \s\up15(－\f(1,2))>eq \r(1.1).
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq \s\up5(\f(1,2)))图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )
(3)当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．幂函数的图象过点(2，eq \r(2))，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝xeq \s\up5(\f(1,2))
C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝eq \r(2)，
∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2)).
选B.]
3．函数y＝xeq \s\up15(\f(5,4))的图象是( )
A B C D
C [∵函数y＝xeq \s\up15(\f(5,4))是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又eq \f(5,4)>1，故选C.]
4．比较下列各组数的大小：
(1)3eq \s\up15(－\f(5,2))与3.1eq \s\up15(－\f(5,2))；
(2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))，3.8eq \s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq \s\up15(－\f(3,5)).
[解] (1)因为函数y＝xeq \s\up15(－\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3eq \s\up15(－\f(5,2))>3.1eq \s\up15(－\f(5,2)).
(2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))>1eq \s\up5(\f(2,5))＝1,0<3.8eq \s\up15(－\f(2,3))<1eq \s\up15(－\f(2,3))＝1，而(－1.9) eq \s\up15(－\f(3,5))<0，所以4.1eq \s\up5(\f(2,5))>3.8eq \s\up15(－\f(2,3))>(－1.9)eq \s\up15(－\f(3,5)).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up5(\f(1,2))
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)
时，增函数
x∈(－∞，0]
时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数