高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）一课一练

4.5.2　用二分法求方程的近似解

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(　　)

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2) D.不能确定

答案B

解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,

∴f(1.25)f(1.5)<0,

因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.

2.(2021江西上高二中高二期末)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)

A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5

答案A

解析由表格中参考数据可得f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.

3.(多选题)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法错误的是(　　)

A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点

B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值

C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点

D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值

答案BCD

解析x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD.

4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为　　　　　. 

答案[2,2.5]

解析因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,

所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.

所以下一个有解区间应为[2,2.5].

5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:

由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为　　　　　.(精确到0.1) 

答案1.4

解析由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.4065,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.

6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.

(1)证明:f(x)有且只有一个零点;

(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.

(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0.

∴f(x1)>f(x2),

即f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数,

∴f(x)至多有一个零点.

又f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.

∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.

(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f=ln-1<0,

∴f(3)f<0,即f(x)零点x0∈,3.

取x2=,则f=ln>0.

∴ff<0.

∴x0∈.又=,

∴满足题意的区间为.

等级考提升练

7.在用二分法求的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以∈(1,2),要使的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案B

解析设要计算n次,则n满足<0.1,即2n>10.故计算4次就可满足要求.

所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.

8.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为(　　)

A.(1,1.25) B.(1,1.5)

C.(1,2) D.(1.5,2)

答案D

解析令f(x)=lnx-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-=ln2-ln>ln2-ln=ln2-ln2=0,

f(1.5)=ln=lnlne=lnlne2=ln-lne2<(ln4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.

9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是(　　)

A.f B.f(2) C.f(1) D.f

答案BD

解析由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间1,内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;⑤零点在区间内,则有f·f<0,则f>0,f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.

10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:

由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是(　　)

A.0.625 B.-0.009 C.0.562 5 D.0.066

答案C

解析设近似解为x0,

因为f(0.53125)<0,f(0.5625)>0,

所以x0∈(0.53125,0.5625).

因为0.5625-0.53125=0.03125<0.05,

所以方程的近似解可取为0.5625,故选C.

11.(2020湖北黄石高一期中)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:

据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　　(精确到0.01). 

答案1.56

解析由表知,f(1.5562)=-0.029,f(1.5625)=0.003,则f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.

12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.

解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.

至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:

取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f-=-+5=-<0,

所以x0∈-,-1.

取区间-,-1的中点x2==-,

且f-=+5>0,

所以x0∈-,-.

取区间-,-的中点x3==-,且f-=+5>0,

所以x0∈-,-.

因为---<0.2,所以区间-,-的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.

新情境创新练

13.(2020云南曲靖高一期中)已知函数f(x)=.

(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;

(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.

(参考数据:≈1.18,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)

解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.

理由如下:令0≤x1<x2,由于f(x1)-f(x2)=<0,

即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.

(2)g(x)=+log2x-2是增函数.

∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=+log23-2>0,g(2)=+log22-2=-1>0,

∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.

∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,

g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75).

∵1.75-1.5=0.25<0.3,

∴g(x)零点的近似值为1.5.(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以)