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    高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用(二)练习题

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    这是一份高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用(二)练习题,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(三十三) 用二分法求方程的近似解


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.下面关于二分法的叙述中,正确的是( )


    A.用二分法可求所有函数零点的近似值


    B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位


    C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成


    D.只能用二分法求函数的零点


    B [用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间,故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,故可以在计算机上完成,故选项C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误,故选B.]


    2.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( )


    A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)


    C.(1.5,2) D.不能确定


    A [由于f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5).]


    3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:


    那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )


    A.1.25 B.1.375


    C.1.42 D.1.5


    C [由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间.结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]


    4.用二分法求函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( )


    A.(0,1) B.(0,2)


    C.(2,3) D.(2,4)


    B [因为f(0)=20+0-7=-6<0,


    f(4)=24+12-7>0,


    f(2)=22+6-7>0,所以f(0)·f(2)<0,所以零点在区间(0,2)内.]


    5.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )


    A.[1,4] B.[-2,1]


    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2,\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1))


    D [∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2,-\f(1,2))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1)),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(5,2))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2),4)).]


    二、填空题


    6.已知函数f(x)=x3-2x-2,f(1)·f(2)<0,用二分法逐次计算时,若x0是[1,2]的中点,则f(x0)=________.


    -1.625 [由题意,x0=1.5,f(x0)=f(1.5)=-1.625.]


    7.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为________.(精确度为0.1)


    0.687 5(答案不唯一) [∵f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,


    ∴方程的解在(0.687 5,0.75)上,而|0.75-0.687 5|<0.1,


    ∴方程的一个近似解为0.687 5.]


    8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测________次.





    6 [第1次取中点把焊点数减半为eq \f(64,2)=32,第2次取中点把焊点数减半为eq \f(32,2)=16,第3次取中点把焊点数减半为eq \f(16,2)=8,第4次取中点把焊点数减半为eq \f(8,2)=4,第5次取中点把焊点数减半为eq \f(4,2)=2,第6次取中点把焊点数减半为eq \f(2,2)=1,所以至多需要检测的次数是6.]


    三、解答题


    9.已知方程2x+2x=5.


    (1)判断该方程解的个数以及所在区间;


    (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).


    参考数值:


    [解] (1)令f(x)=2x+2x-5.


    因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,


    所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.


    因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,


    所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.


    (2)用二分法逐次计算,列表如下:


    因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,


    即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.


    10.用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解.(精确度为0.1)


    [解] 令f(x)=x2-5,因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)·f(2.4)<0,


    即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0,


    取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29,因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),


    再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062 5,因为f(2.2)·f(2.25)<0,


    所以x0∈(2.2,2.25),由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,


    所以原方程的近似正解可取为2.25.





    11.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )


    A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3


    C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x


    C [对于选项C而言,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.]


    12.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )


    A.0.68 B.0.72


    C.0.7 D.0.6


    C [已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又0.68=eq \f(1,2)(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72],且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7,因此,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.]


    13.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:


    据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)可取________.


    1.562 5 [f(1.562 5)≈0.003>0,f(1.556 2)≈-0.029<0,方程3x-x-4=0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上,且满足精确度为0.01,所以所求近似解可取为1.562 5.]


    14.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8,那么他再取的x的4个值依次是________.


    1.5,1.75,1.875,1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).]





    15.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.


    [证明] ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0,


    即3(a+b+c)-b-2c>0.


    ∵a+b+c=0,∴-b-2c>0,


    则-b-c>c,即a>c.


    ∵f(0)>0,∴c>0,则a>0.


    在区间[0,1]内选取二等分点eq \f(1,2),


    则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(3,4)a+b+c=eq \f(3,4)a+(-a)=-eq \f(1,4)a<0.


    ∵f(0)>0,f(1)>0,


    ∴函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))上各有一个零点.


    又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.


    f(1)=-2
    f(1.5)=0.625
    f(1.25)=-0.984
    f(1.375)=-0.260
    f(1.437 5)=0.162
    f(1.406 25)=-0.054
    x
    1.187 5
    1.125
    1.25
    1.312 5
    1.375
    1.5
    2x
    2.278
    2.181
    2.378
    2.484
    2.594
    2.83
    区间
    中点的值
    中点函数值符号
    (1,2)
    1.5
    f(1.5)>0
    (1,1.5)
    1.25
    f(1.25)<0
    (1.25,1.5)
    1.375
    f(1.375)>0
    (1.25,1.375)
    1.312 5
    f(1.312 5)>0
    (1.25,1.312 5)
    f(1.600 0)≈0.200
    f(1.587 5)≈0.133
    f(1.575 0)≈0.067
    f(1.562 5)≈0.003
    f(1.556 2)≈-0.029
    f(1.550 0)≈-0.060
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