高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）

4.5.2用二分法求方程的近似解练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（    ）

A．0或 B．0 C． D．0或

2．设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（　　）

A．至少有一实根 B．至多有一实根

C．没有实根 D．必有唯一实根

3．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（    ）

A． B． C． D．

4．设函数， 在用二分法求方程在内的近似解过程中得，则方程的解所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

5．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

6．若，则实数的值为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．12

7．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　)

A．f(4) B．f(2)

C．f(1) D．f

8．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程的近似解（精确度0.1）可取为A．2.52 B．2.56 C．2.66              D．2.75

三、填空题

10．若函数有一个零点是2，则函数的零点是______．

11．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为_______.

12．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为，则______．

13．定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为____.

四、解答题

14．已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在（精确到50m）？

15．已知函数为上的连续函数．

(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

(2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．

16．设函数.

（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；

（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1）

17．已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，求实数m的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】根据函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得到b＝－2a，再令g(x)＝0求解.

【详解】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，

所以b＝－2a，

所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．

令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．

故选：A

2．D

【分析】根据零点存在性定理及函数的单调性判断即可.

【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，

所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．

故选：D

3．C

【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】因为函数在上显然是连续函数，

和在上都是增函数，

当时，，所以在上恒成立；

当时，，所以在上也恒成立；

当时，，所以在上恒成立，

又，，

根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为

故选：C.

【点睛】方法点睛：

判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果.

4．C

【分析】先判断函数的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可.

【详解】函数在上为增函数，

又，

则方程的解所在的区间为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题.

5．B

【分析】利用零点存在性定理求解即可

【详解】函数在 上单调递增，且在上连续.

因为，，

所以，

所以函数的零点所在的区间是.

故选：B

6．A

【分析】由换底公式对原式变型即可求解.

【详解】∵

,

∴，∴．

故选：A．

7．C

【分析】根据零点存在定理判断，注意零点的唯一性．

【详解】由题意的唯一零点在上，因此与符号相同，，，符号相同且与符号相反，

故选：C．

8．C

【解析】利用二分法的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】在A中，函数无零点，故排除A，

在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，

因此它们都不能用二分法来求零点．

而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，

并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点．

故选：C

【点睛】本题主要考查二分法的定义，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

9．AB

【分析】根据表格中函数值在的左右两侧，最接近的值，即，可知近似根在之内，再在四个选项中进行选择，得到答案.

【详解】由表格函数值在的左右两侧，最接近的值，即，

可知方程的近似根在内，

因此选项中2.52符合，选项中2.56也符合，

故选.

【点睛】本题考查利用二分法求函数零点所在的区间，求函数零点的近似解，属于简单题.

10．0或

【分析】先求得的关系式，然后求得函数的零点.

【详解】由于函数有一个零点是，

所以，，

所以，

由于，所以或.

故答案为：0或

11．

【分析】先根据函数的新定义分别求出，，，然后再比较大小

【详解】由，得，

所以由题意得，解得，

由，得，

所以由题意得，

令，（），则，

所以在上递增，

因为，，

所以存在，使，所以，

由，得，

所以由题意得，

令，则，

令，则或，

当或时，，当，，

所以在和上递增，在上递减，

所以的极大值为，极小值为，

因为，，

所以存在唯一零点，所以，

所以，

故答案为：

12．

【分析】利用单调性和零点存在定理可知，由此确定的范围，进而得到.

【详解】函数为上的增函数，，，

函数的零点满足，，

的最小整数解．

故答案为：.

13．

【分析】由奇函数满足，可知函数的周期性与对称性，作出函数图象，判断函数与函数的交点情况.

【详解】因为函数满足，所以函数的对称轴为直线，

又因为函数为奇函数，所以

又，所以，所以函数的周期为2，

又因为当时，，作出函数和的简图如图所示，

由可得，

故当时，线段与曲线仅有一个交点，

故由图可知，有个交点，这个交点是关于点对称的，且关于点对称的两个点的横坐标之和为，则所有根之和为.

故答案为：.

14．见解析

【解析】利用二分法取线段的中点即可迅速查出故障所在.

【详解】如图：

可首先从中点C开始检查，若段正常，则故障在段；

再到段中点D检查，若段正常，则故障在段；

再到段中点E检查……每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，

经过8次查找，可将故障范围缩小到50m之内，即可迅速找到故障所在．

【点睛】本题考查了二分法在生活中的应用，理解二分法的定义，属于基础题.

15．(1)；

(2)存在，区间为.

【分析】（1）根据，结合二次函数的图象与性质，可知在区间上单调递减，结合条件在区间上存在零点，则有，解不等式组即可求出实数的取值范围；

（2）当时，得，可知在区间上单调递减，并求得，根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点，最后利用二分法和零点存在性定理，求出在误差不超过0.1的条件下的零点所在的区间.

(1)

解：为二次函数，开口向上，对称轴为，

可知函数在区间上单调递减，

∵在区间上存在零点，∴，

即，解得：，

∴实数的取值范围是．

(2)

解：当时，为二次函数，开口向上，对称轴为，

所以在区间上单调递减，

，，则，

∴函数在上存在唯一零点，

又为上的连续函数，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，∴，

此时误差为，即满足误差不超过0.1，

∴零点所在的区间为．

16．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明；

（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解.

【详解】（1）令，

则，

令，

在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

因为，即，

所以在区间（-1,0）内有零点，

再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点.

（2）由；

由；

由；

由，

所以.

17．

【分析】求出导函数，由题意，原问题等价于有解，从而即可求解.

【详解】解：函数的导数，

由题意，若曲线C存在与直线垂直的切线，则，即有解，

又因为，所以，即，

所以实数m的取值范围是．