数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后复习题

十九　圆与圆的位置关系

(15分钟　30分)

1．已知r>0，圆心O1：x2＋y2＝r2与圆心O2：(x－3)2＋(y－4)2＝(2r＋1)2有两个不同的交点，则实数r的取值范围是(　　)

A．        B．(0，4)

C．         D．(4，＋∞)

【解析】选C.由题意得，(2r＋1)－r<<r＋(2r＋1)，

即r＋1<5<3r＋1，解得<r<4.

2．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成的图形的面积为(　　)

A．1      B．2       C．4       D．8

【解析】选B.两圆的公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.与坐标轴的交点分别为(－2，0)，(0，2)，所得三角形的面积为×2×2＝2.

3．圆：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A．x＋y＋3＝0       B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0      D．4x－3y＋7＝0

【解析】选C.AB的垂直平分线就是经过两圆圆心(2，－3)和(3，0)的直线3x－y－9＝0.

4．两圆交于点A(1，3)和B(m，1)，两圆的圆心都在直线x－y＋4＝0上，则m＝________．

【解析】直线AB与两圆圆心所在直线垂直，

所以×1＝－1，解得m＝3.

答案：3

5．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋16＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－11＝0上，求|PQ|的最大值．

【解析】圆x2＋y2－8x－4y＋16＝0，圆心(4，2)，半径为2；圆x2＋y2＋4x＋2y－11＝0的圆心(－2，－1)，半径为4.|PQ|最大值为两圆圆心距加两圆半径之和，即6＋3.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知圆C：2＋2＝1和两点A，B，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7       B．4       C．5       D．6

【解析】选D.若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.

由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，

所以|m－1OC|≤m＋1，易知＝5，

所以4≤m≤6，故m的最大值为6.

2．已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(　　)

A．－        B．－

C．－        D．－

【解析】选A.圆心(4，0)，半径1.圆心到直线的距离≤2，解得－≤k≤0.所以k的最小值为－.

3．两圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0与 x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有______条(　　)

A．1       B．2       C．3       D．4

【解析】选C.圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0的圆心(2，2)，半径为1；圆 x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心(－2，2)，半径为3.圆心距＝4＝1＋3，所以两圆外切，公切线有3条．

4．已知圆心O：x2＋y2＝4，点P(1，4)，从点P引圆心O的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)

A．x＋4y－4＝0       B．x－4y－4＝0

C．x＋4y＋4＝0       D．x＋4y－8＝0

【解析】选A.连接OA，OB，OP(图略)，由题意可得，OA⊥PA，OB⊥PB，

则可得P，A，O，B四点共圆，且PO为该圆的直径，故该圆的方程为2＋(y－2)2＝与x2＋y2＝4相减，得x＋4y－4＝0，即直线AB的方程为x＋4y－4＝0.

【误区警示】根据P，A，O，B四点共圆，转化为两圆相交弦所在直线比较好．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的取值可能是(　　)

A．－2       B．－1       C．1       D．3

【解析】选BCD.由题意得两圆内切或外切，所以|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，所以|a|＝3或|a|＝1，所以a＝±3或a＝±1.

6．已知圆C1：x2＋y2＝r2和圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确是(　　)

A．x1＋x2＝a，y1＋y2＝b

B．2ax1＋2by1＋a2＋b2＝0

C．2ax2＋2by2－a2－b2＝0

D．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0

【解析】选ACD.因为圆C1：x2＋y2＝r2和圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的两点A，B，

所以两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，

分别把点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入2ax＋2by－a2－b2＝0 得：2ax1＋2by1－a2－b2＝0，2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以选项C正确，

上面两式相减得：2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，

即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项D正确，

因为两圆的半径相等，所以由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，

所以＝，＝，

所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以A正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．

【解析】线段AB的中垂线就是两圆圆心连线，所以方程为x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

8．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．

【解析】因为PA⊥PB，所以O，A，P，B构成正方形，|OP|＝.

以O为圆心，为半径作圆，与圆M有交点，

所以0≤≤2，解得a∈[－2，2].

答案：[－2，2]

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B两点．

(1)求直线AB的方程，并求出；

(2)在直线AB上取点P，过P作圆C1的切线PQ(Q为切点)，使得＝，求点P的坐标．

【解析】(1)两圆方程相减得4x－8y＋16＝0 即x－2y＋4＝0 ，此即为直线AB的方程，由题意知：圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，圆心到直线的距离是，＝2.

(2)设P(2y－4，y)，

＝＝

＝，整理得y2－2y－3＝0，解得y＝－1，y＝3，从而P(－6，－1)或(2，3).

10．已知以C1为圆心的圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一点A(2，4).

(1)设圆C2与x轴相切，与圆C1外切，且圆心C2在直线x＝6上，求圆C2的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且＝，求直线l的方程．

【解析】(1)因为圆心C2在直线x＝6上，

所以可设C2(6，n)，

因为圆C2与x轴相切，则圆C2为(x－6)2＋(y－n)2＝n2.

又圆C2与圆C1外切，圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25.

则|7－n|＝＋5，解得n＝1.

所以圆C2的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.

设直线l的方程为y＝2x＋b，

则圆心C1到直线l的距离d＝＝.

则＝2＝2，

又＝＝2，

所以2＝2，

解得b＝5或b＝－15，即直线l的方程为：2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

【创新迁移】

已知圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　)

A．2＋4       B．9

C．7         D．2＋2

【解析】选B.作圆C1关于x轴的对称圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝1.

|PN|－|PM|≤(|PC2|＋3)－(|PC1|－1)

＝|PC2|－|PC1|＋4＝|PC2|－|PC3|＋4≤|C2C3|＋4＝9.

当点P为x轴与直线C2C3：4x－3y－1＝0的交点

Q时取得等号．

【补偿训练】

已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．6－2       B．5－4

C．－1       D．

【解析】选B.依题意可知C1(2，3)，r1＝1，C2(3，4)，r2＝3，作出图形如图所示：

对于x轴上的任一点P，由图可知，要使|PM|＋|PN|取得最小值，则问题可转化为求|PC1|－r1＋|PC2|－r2＝|PC1|＋|PC2|－4的最小值，即可看作x轴上一点到两定点距离之和的最小值减去4.

由平面几何的知识易知当C1关于x轴的对称点A(2，－3)与P，C2共线时，|PC1|＋|PC2|取得最小值，即x轴上一点到两定点距离之和取得最小值为|AC2|＝5.所以|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4＝5－4.