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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀综合训练题，文件包含第09讲251直线与圆的位置关系13类热点题型讲练原卷版docx、第09讲251直线与圆的位置关系13类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
知识点01：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
2.1几何法（优先推荐）
2.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
【即学即练1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
知识点02：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
【即学即练2】（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.
【答案】
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
根据圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
知识点03：直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
【即学即练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
【答案】
【详解】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故答案为：.
知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
【即学即练4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】把圆变形为，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，
∴的面积的最大值为．
故选：A．
题型01判断直线与圆的位置关系
【典例1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】圆，即圆，
所以圆，半径，
因为圆心到轴的距离为1，且，
所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，
因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，
综上坐标轴与圆有3个交点，
故选：C
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【答案】B
【详解】因为化为标准方程为，
所以圆心，圆的半径，
又因为圆心C到直线的距离为，
所以，
所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，
所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.
故选：B.
【典例3】（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
【答案】AD
【详解】对于A，因为：，即，
令，即，得，所以直线过定点，故A正确；
对于B，因为，
所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误；
对于C，因为圆：，可化为，圆心，
当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值，
此时其值为，故C错误；
对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确.
故选：AD.
【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆与直线（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
【答案】B
【详解】由可得，
故圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆C相切．
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【详解】已知直线过定点，
将点代入圆的方程可得，
可知点在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A.
题型02由直线与圆的位置关系求参数
【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意得为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，
当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因为直线与曲线恰有两个公共点，
由图可得，即的取值范围是．
故选：B．
【典例2】（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______
【答案】
【详解】由l方程知，则l过定点，
若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上.
又因为圆C的圆心坐标为，半径为r，
则，即r的取值范围为.
故答案为：
【变式1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】B
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：
【变式2】（2023春·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______.
【答案】或
【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1，
当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，由题意，
所以，平方化简得，解得或.
故答案为：或.
题型03直线与圆相交问题
【典例1】（2023·高二课时练习）已知O为原点，直线与圆交于、两点．
(1)若，求的值；
(2)若，求圆的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：圆的圆心为，
半径，其中，
圆心到直线的距离，
，解得；
（2）解：设，
联立，消得，
，
则，
又，
因为，所以，
即，
即，
所以，解得满足，
此时圆的半径，
所以圆的面积为.
【典例2】（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线任意一点满足．
(1)求曲线的方程；
(2)设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）设，因为，故，
即，整理可得
所以曲线C的方程为.
（2）设
联立整理得
得 ①
根据韦达定理得：
由以AB为直径的圆过原点，得到
所以
解得 满足①式
所以存在实数，使得以AB为直径的圆过原点.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为区间，且,则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】解：如图所示：
因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式的解集为区间，且,
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以，
所以直线与半圆的交点，
所以.
故选：C.
【变式2】（2023·高三课时练习）已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______.
【答案】
【详解】当直线的斜率不存在时，，联立，得或，
不妨设，，则，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设直线，
联立，消去并整理得，
，
设，，
则，，
则，
所以,
解得，，
所以直线l的方程是.
故答案为：
题型04求切线方程
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】
【详解】解：圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
【典例3】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)和.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，
由解得圆心，半径
故圆的方程为；
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，
所以直线的方程为和．
【变式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心，
∵，则点在圆上，即点为切点，
则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，
故切线的方程，即.
故答案为：.
【变式2】（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，，
圆的方程为：.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由得：，切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
【变式3】（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切，
故圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切；
故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为，
即，则，解得或，
故切线方程为或．
题型05切线长（切点弦）问题
【典例1】（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【详解】如图所示，圆心为，连接，
因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
【典例2】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【答案】/
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
【典例3】（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.
【答案】
【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，
连接,则,
设，则,
故,
当垂直于直线时，d最小，
所以，所以；
由于点A是直线上的一个动点，设点，
线段的中点设为P，则，且，
所以以线段为直径为圆的方程为 ，
即，
将方程与作差可得，
即直线的方程为，可得，
由于,故，
因此，直线恒过定点，
故答案为：；
【变式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C
【变式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】
【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，
所以，，即切线长的最小值为.
故答案为：.
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
题型06已知切线求参数
【典例1】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题设，则，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小），
当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为，
结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为，
由图知：直线OP的斜率的取值范围是.
故答案为：
【典例2】（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______.
【答案】/0.75
【详解】由题意圆心为，半径为2，
所以，解得．
故答案为：．
【变式1】（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为，
因为直线，与相切，
所以，即，
所以可设，
所以，其中，
故选：B
【变式2】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）已知直线：上存在点，使得过点可作两条直线与圆：分别切于点，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选：C
题型07圆的弦长与中点弦问题
【典例1】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率是（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】D
【详解】由圆，可得圆心坐标为，
根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短，
因为，所以直线的斜率为.
故选：D.
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______；
【答案】
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线，即的距离，
由圆的弦长公式，即，得，
所以，解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
【典例2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【详解】圆，
所以圆心为，半径为4，设，
由线段AB的中点为D，可得，
即有，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；
故答案为：.
【变式1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆相交于，两点，则______．
【答案】/
【详解】由，得，则圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为
所以，解得．
故答案为：
【变式2】（2023·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________
【答案】
【详解】由，得，
因为直线平分圆C，
所以该直线经过圆心C，得，解得.
则，
当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意，
所以圆C以点为中点的弦弦长为.
故答案为：.
【变式3】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆心的坐标为,
则.
化简得，解得,
所以点坐标为，
半径，
故圆的方程为.
（2）圆心到轴的距离为，
所以圆在轴截得的弦长为.
题型08已知圆的弦长求方程或参数
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】D
【详解】整理得，故圆心为，半径为，
当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，
其中，
由垂径定理得，即，解得，
故选：D
【典例2】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
（2）由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
【典例3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
（2）由于，点到直线的距离，
即，解得
【变式1】（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线截圆所得弦长，则的值为______.
【答案】或
【详解】圆心到直线的距离为 ，
由得，解得或，
故答案为：或
【变式2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
又因为圆的圆心在直线上，
由，解得，即，圆的半径，
所以，圆的方程为．
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即．
因为圆心为，所以圆心到直线的距离为，
整理可得，解得，
所以，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或.
【变式3】（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）已知圆：，直线：.
(1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）圆的圆心为,半径为,
设圆心到直线的距离为d，因为，则，解得，
所以，，
故直线方程为或.
（2）直线l：，过定点，
设弦AB的中点，则，
所以，即，
所以弦AB的中点的轨迹方程为.
题型09圆内接三角形面积
【典例1】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【答案】/
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知圆．
(1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设不过圆心的直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；.
【详解】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内，
由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线，
直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即，
所以该直线的方程为.
（2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得，
又直线l不过圆心，即，因此且，
，
的面积，
因为且，则，当，即或时，，
所以，，当或时，.
【变式1】（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
【变式2】（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.
【答案】12
【详解】圆：，得圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，因此，
所以.
故答案为：.
题型10直线与圆的实际应用
【典例1】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】(1)答案见解析
(2)米
【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，
则该圆弧所在圆的一般方程为.
（2）解：令代入圆的方程得，得或（舍），
由于隧道的总高度为米，且（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为米.
【典例2】（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距O岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过、、三点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险
【详解】（1）如图所示，，
设过O、A、B三点的圆C的方程为，
得：，解得，
故所以圆C的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点D，则，
且该船航线所在直线l的斜率为,
故该船航行方向为直线，
由于圆心C到直线l的距离，
故该船没有触礁的危险
【变式1】（2023秋·高一单元测试）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于__________m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是__________．
（可用参考数据：．）
【答案】 3.32
【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图，
则，
则圆的标准方程为：．
由题意设，代入圆的方程得，
解得，即，则.
故答案为：3.32；.
题型11直线与圆中的定点定值问题
【典例1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线：，则（ ）
A．存在，使得与圆相切
B．对任意，与圆相交
C．存在，使得圆截所得弦长为1
D．对任意，存在一条直线被圆截，所得弦长为定值
【答案】BD
【详解】由题意得圆，所以圆心，半径，
对于A，B：易知圆心到直线的距离，
所以恒成立，
所以，即对任意，l与相交，故A错误，B正确；
对于C：若截所得弦长为1，则，即，
因为，所以关于的方程无实数解，
即不存在，使得圆截所得弦长为1，故C错误；
对于D：圆的方程可变形为，
令，解得，所以圆过定点和，
所以存在直线被圆截，所得弦长为定值，故D正确.
故选：BD．
【典例2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【答案】
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【详解】圆C：的圆心，半径为2，
由直线l：为，
∴直线l过定点，
又，∴P在圆C内部，
当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，
∵，
∴弦AB长的最小值为.
故选：C.
【变式2】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线：与圆：交于，两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】直线：的方程可化为，∴直线过定点，又∵，∴点D在圆C内．
由圆的性质可知当时，最小，此时的周长最小，
又，，∴，则．
故选：C.
题型12根据直线与圆位置关系求距离最值
【典例1】（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知直线：与轴、轴分别交于，两点，动直线：和：交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，
因为，所以无论m取何值，都有，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
设，则点P的轨迹方程为，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由题可知，，则，
所以的面积的最小值为．
故选：B
【典例2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是直线上的动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为_______.
【答案】1
【详解】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，
则在以为直径的圆上，该圆的方程为，
将和相减得：，
即得到直线的方程为，
又因为点P是直线，故，
则直线的方程为，即，
当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点，
当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，
此时最大值即为Q，M之间的距离，而，
即点到直线AB的距离的最大值为1，
故答案为：1
【变式1】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【答案】
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
【变式3】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是__________．
【答案】
【详解】由题意可知，的最小值即为圆上一点到直线与圆交点的最小距离，
圆心，半径，圆心到直线的距离为，
由题意可知．
故答案为：.
题型13直线与圆综合问题
【典例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又圆心在，
联立，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的方程为.
.
（2）因为，所以在圆外，
过作圆的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切，
若切线斜率存在时，设切线方程，即，
则，解得，
所以切线方程为，即.
综上：切线方程为或.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【答案】（1）最大值为2，最小值为1；（2）；（3）；（4）最大值为3，最小值
【详解】（1）由于，故可令．
则原式变为．
，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．
故函数的值域为．
（3）解法一：
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函数的值域为．
解法二：
由解法一得，
则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，
点在半圆上，
当直线与半圆，相切时，，解得，
数形结合易得，即．．
故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
【典例3】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，此时直线方程为
【详解】（1）直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
（2）直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.
【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；
(2)当弦长时，求直线的方程；
(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)为定值，且
【详解】（1）解：直线与直线垂直，且，.
故直线方程为，即.
圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心.
（2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，
且，合乎题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
，是中点，圆圆心为，半径为，
，则由，得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（3）解：，.
①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得，
即点，则，
又，.
②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中，
则由可得，即点，则.
.
综上所述，与直线的斜率无关，且.
【变式1】（2023秋·高一单元测试）已知直线：与圆：相交于不重合的，两点，是坐标原点，且，，三点构成三角形．
(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，取得最大值时
【详解】（1）解法一：
由题意知：圆心到直线的距离 ，
因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为.
解法二：
联立，化简得：
，得，
因为A，B，O三点构成三角形，所以
所以的取值范围为.
（2）直线：，即，
点O到直线距离：，
所以
所以，（且）
设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时.
【变式2】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线过点，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求弦长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①：因为，故点在圆上，
且圆心与连线的斜率为，
因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2；
所以直线的一般式方程为；
若选②：设直线的倾斜角为，由得；
故直线的斜率；
所以直线的一般式方程为；
若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率；
所以直线的一般式方程为
（2）曲线，即；
故为圆，圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离为；
所以弦长.
【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）已知点，设直线：（，）与圆相交于异于点的，两点.
(1)若，求的值；
(2)若，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的斜率的值；
(3)当时，是否存在一定圆，使得直线与圆相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，定圆.
【详解】（1）因为，又在圆上，
所以直线过圆的圆心，所以.
（2）因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，得，
当时，直线与坐标轴不能围成三角形，故，
在中，令，得；令，得，
所以，得，
所以，解得或，
所以或.
（3）联立，消去并整理得，
，即，
设，，
则，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以点到直线的距离为，
所以直线与以为圆心，为半径的圆相切，
所以存在一个定圆，使得直线与圆相切.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知两点，，是圆上的点，满足，则这样的点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【详解】线段AB的斜率，故线段AB的垂直平分线的斜率为，
又线段AB的中点坐标为，
故线段AB的垂直平分线的方程为，整理得，
圆心到直线的距离，
故与圆C相交，所以满足条件的点P有2个.
故选：C.
3．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【详解】由题知，圆心坐标，半径，
将直线化为点斜式得，
知该直线过定点，
又，故该定点在圆内，
所以该直线与圆必相交.
故选：C
4．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设BC的中点 P的坐标是 ，
∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ，
，即 ，
化简得 ，
∴BC的中点的轨迹方程是 ，
故选： C．
5．（2023·重庆·高二统考学业考试）直线被圆截的的弦长为（ ）
A．B．C．
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为3，
则圆心到直线的距离为，
则被圆截的的弦长为.
故选：B
6．（2023·全国·高三对口高考）已知直线与圆交于不同的两点M，N，且，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设MN的中点为A，则，并且，如图所示，
由，可得，
所以 ，解得，
∴O到直线MN的距离，解得.
故选：D
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【详解】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，
所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
8．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】依题可设圆心坐标为，
由题意得圆心到直线的距离为2，
即，解得，
所以圆的方程为：或，
故选：AC．
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
【答案】
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
12．（2023·全国·高三对口高考）若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】直线过定点，
由得，故曲线是圆心为，半径为的半圆，
如图所示：
当直线与半圆相切时，直线倾斜角为，直线的斜率，
由图可得.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：
(1)圆的一般方程；
(2)圆过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)和
【详解】（1）设圆的一般方程为，
代入三个点得，解得
所以圆的一般方程为.
（2）圆的一般方程化为标准形式为.
当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即.
综上所述，圆过点的切线方程为和.
14．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知，，，圆经过三点.
(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若经过点的直线l与圆C交于两点，求弦长的取值范围.
【答案】(1)，圆心是，半径
(2)
【详解】（1）解：由题意，点，，，且圆经过三点，
可得圆是以为直径的圆，
设圆的圆心坐标为，半径为，
可得，即圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为.
（2）解：由圆的性质得，当直线过圆心，此时弦长取得最大值，最大值为，
当为中点的弦最短，其中，所以最短弦长为，
所以弦长的取值范围.
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
2．（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，
又因为与y轴相切，所以半径，
易知圆心到直线的距离为，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，
所以，解得；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.
故选：C
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
4．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
【答案】
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为__________．
【答案】
【详解】因为圆可化为，故圆心为，半径为，
所以圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
所以，则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆的一般方程为，
又圆过点，，，
则，
解得，
所以圆的一般方程为，
即其标准方程为；
（2）由题意得，所以直线，点，点，
设点，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圆上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
得，
则，，
所以，
即，
即，
得或，
当时，直线的方程为，过点，
当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，
当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，
综上所述，直线恒过点.
2．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知圆心在轴上的圆与直线切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，与圆联立方程组，
可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为.
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。
②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。
③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。
④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。
通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题.
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。
知识点01：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
2.1几何法（优先推荐）
2.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
【即学即练1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
知识点02：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
【即学即练2】（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.
【答案】
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
根据圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
知识点03：直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
【即学即练3】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.
【答案】
【详解】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故答案为：.
知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
【即学即练4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】把圆变形为，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，
∴的面积的最大值为．
故选：A．
题型01判断直线与圆的位置关系
【典例1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】圆，即圆，
所以圆，半径，
因为圆心到轴的距离为1，且，
所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，
因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，
综上坐标轴与圆有3个交点，
故选：C
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【答案】B
【详解】因为化为标准方程为，
所以圆心，圆的半径，
又因为圆心C到直线的距离为，
所以，
所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，
所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.
故选：B.
【典例3】（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
【答案】AD
【详解】对于A，因为：，即，
令，即，得，所以直线过定点，故A正确；
对于B，因为，
所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误；
对于C，因为圆：，可化为，圆心，
当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值，
此时其值为，故C错误；
对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确.
故选：AD.
【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆与直线（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交且直线过圆C的圆心
【答案】B
【详解】由可得，
故圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆C相切．
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【详解】已知直线过定点，
将点代入圆的方程可得，
可知点在圆内，
所以直线与圆相交.
故选：A.
题型02由直线与圆的位置关系求参数
【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意得为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，
当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因为直线与曲线恰有两个公共点，
由图可得，即的取值范围是．
故选：B．
【典例2】（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______
【答案】
【详解】由l方程知，则l过定点，
若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上.
又因为圆C的圆心坐标为，半径为r，
则，即r的取值范围为.
故答案为：
【变式1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】B
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，
故选：
【变式2】（2023春·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______.
【答案】或
【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1，
当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，由题意，
所以，平方化简得，解得或.
故答案为：或.
题型03直线与圆相交问题
【典例1】（2023·高二课时练习）已知O为原点，直线与圆交于、两点．
(1)若，求的值；
(2)若，求圆的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：圆的圆心为，
半径，其中，
圆心到直线的距离，
，解得；
（2）解：设，
联立，消得，
，
则，
又，
因为，所以，
即，
即，
所以，解得满足，
此时圆的半径，
所以圆的面积为.
【典例2】（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线任意一点满足．
(1)求曲线的方程；
(2)设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）设，因为，故，
即，整理可得
所以曲线C的方程为.
（2）设
联立整理得
得 ①
根据韦达定理得：
由以AB为直径的圆过原点，得到
所以
解得 满足①式
所以存在实数，使得以AB为直径的圆过原点.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为区间，且,则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】解：如图所示：
因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式的解集为区间，且,
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以，
所以直线与半圆的交点，
所以.
故选：C.
【变式2】（2023·高三课时练习）已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______.
【答案】
【详解】当直线的斜率不存在时，，联立，得或，
不妨设，，则，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设直线，
联立，消去并整理得，
，
设，，
则，，
则，
所以,
解得，，
所以直线l的方程是.
故答案为：
题型04求切线方程
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】
【详解】解：圆的标准方程为：，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即，
化简得，
解得，，
综上：直线方程为：，
故答案为：
【典例3】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆经过点和，且圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过点作直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)和.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，
由解得圆心，半径
故圆的方程为；
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，
所以直线的方程为和．
【变式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心，
∵，则点在圆上，即点为切点，
则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率，
故切线的方程，即.
故答案为：.
【变式2】（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点的该圆的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又圆被直线截得的弦长为，，
圆的方程为：.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由得：，切线方程为，即，
综上所述：过点的圆的切线方程为或.
【变式3】（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切，
故圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切；
故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为，
即，则，解得或，
故切线方程为或．
题型05切线长（切点弦）问题
【典例1】（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【详解】如图所示，圆心为，连接，
因为直线，关于对称，所以垂直于直线，
故，而，
所以.
故选：C
【典例2】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【答案】/
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
【典例3】（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________.
【答案】
【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，
连接,则,
设，则,
故,
当垂直于直线时，d最小，
所以，所以；
由于点A是直线上的一个动点，设点，
线段的中点设为P，则，且，
所以以线段为直径为圆的方程为 ，
即，
将方程与作差可得，
即直线的方程为，可得，
由于,故，
因此，直线恒过定点，
故答案为：；
【变式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C
【变式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】
【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，
当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，
所以，，即切线长的最小值为.
故答案为：.
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
题型06已知切线求参数
【典例1】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题设，则，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小），
当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为，
结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为，
由图知：直线OP的斜率的取值范围是.
故答案为：
【典例2】（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______.
【答案】/0.75
【详解】由题意圆心为，半径为2，
所以，解得．
故答案为：．
【变式1】（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为，
因为直线，与相切，
所以，即，
所以可设，
所以，其中，
故选：B
【变式2】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）已知直线：上存在点，使得过点可作两条直线与圆：分别切于点，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选：C
题型07圆的弦长与中点弦问题
【典例1】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率是（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】D
【详解】由圆，可得圆心坐标为，
根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短，
因为，所以直线的斜率为.
故选：D.
【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______；
【答案】
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线，即的距离，
由圆的弦长公式，即，得，
所以，解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
【典例2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【详解】圆，
所以圆心为，半径为4，设，
由线段AB的中点为D，可得，
即有，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；
故答案为：.
【变式1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆相交于，两点，则______．
【答案】/
【详解】由，得，则圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为
所以，解得．
故答案为：
【变式2】（2023·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________
【答案】
【详解】由，得，
因为直线平分圆C，
所以该直线经过圆心C，得，解得.
则，
当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意，
所以圆C以点为中点的弦弦长为.
故答案为：.
【变式3】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆心的坐标为,
则.
化简得，解得,
所以点坐标为，
半径，
故圆的方程为.
（2）圆心到轴的距离为，
所以圆在轴截得的弦长为.
题型08已知圆的弦长求方程或参数
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】D
【详解】整理得，故圆心为，半径为，
当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，
其中，
由垂径定理得，即，解得，
故选：D
【典例2】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
（2）由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
【典例3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆经过点、，圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）的中点为，斜率，
则直线的中垂线为
联立，解得，
即，
圆的方程为.
（2）由于，点到直线的距离，
即，解得
【变式1】（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线截圆所得弦长，则的值为______.
【答案】或
【详解】圆心到直线的距离为 ，
由得，解得或，
故答案为：或
【变式2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
又因为圆的圆心在直线上，
由，解得，即，圆的半径，
所以，圆的方程为．
（2）解：设圆心到直线的距离为，则，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即．
因为圆心为，所以圆心到直线的距离为，
整理可得，解得，
所以，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或.
【变式3】（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）已知圆：，直线：.
(1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）圆的圆心为,半径为,
设圆心到直线的距离为d，因为，则，解得，
所以，，
故直线方程为或.
（2）直线l：，过定点，
设弦AB的中点，则，
所以，即，
所以弦AB的中点的轨迹方程为.
题型09圆内接三角形面积
【典例1】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【答案】/
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知圆．
(1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程；
(2)设不过圆心的直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；.
【详解】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内，
由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线，
直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即，
所以该直线的方程为.
（2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得，
又直线l不过圆心，即，因此且，
，
的面积，
因为且，则，当，即或时，，
所以，，当或时，.
【变式1】（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
【变式2】（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________.
【答案】12
【详解】圆：，得圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，因此，
所以.
故答案为：.
题型10直线与圆的实际应用
【典例1】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】(1)答案见解析
(2)米
【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，
则该圆弧所在圆的一般方程为.
（2）解：令代入圆的方程得，得或（舍），
由于隧道的总高度为米，且（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为米.
【典例2】（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距O岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过、、三点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险
【详解】（1）如图所示，，
设过O、A、B三点的圆C的方程为，
得：，解得，
故所以圆C的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点D，则，
且该船航线所在直线l的斜率为,
故该船航行方向为直线，
由于圆心C到直线l的距离，
故该船没有触礁的危险
【变式1】（2023秋·高一单元测试）党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于__________m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是__________．
（可用参考数据：．）
【答案】 3.32
【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图，
则，
则圆的标准方程为：．
由题意设，代入圆的方程得，
解得，即，则.
故答案为：3.32；.
题型11直线与圆中的定点定值问题
【典例1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线：，则（ ）
A．存在，使得与圆相切
B．对任意，与圆相交
C．存在，使得圆截所得弦长为1
D．对任意，存在一条直线被圆截，所得弦长为定值
【答案】BD
【详解】由题意得圆，所以圆心，半径，
对于A，B：易知圆心到直线的距离，
所以恒成立，
所以，即对任意，l与相交，故A错误，B正确；
对于C：若截所得弦长为1，则，即，
因为，所以关于的方程无实数解，
即不存在，使得圆截所得弦长为1，故C错误；
对于D：圆的方程可变形为，
令，解得，所以圆过定点和，
所以存在直线被圆截，所得弦长为定值，故D正确.
故选：BD．
【典例2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【答案】
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【详解】圆C：的圆心，半径为2，
由直线l：为，
∴直线l过定点，
又，∴P在圆C内部，
当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小，
∵，
∴弦AB长的最小值为.
故选：C.
【变式2】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线：与圆：交于，两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】直线：的方程可化为，∴直线过定点，又∵，∴点D在圆C内．
由圆的性质可知当时，最小，此时的周长最小，
又，，∴，则．
故选：C.
题型12根据直线与圆位置关系求距离最值
【典例1】（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知直线：与轴、轴分别交于，两点，动直线：和：交于点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，
因为，所以无论m取何值，都有，
所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，
设，则点P的轨迹方程为，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由题可知，，则，
所以的面积的最小值为．
故选：B
【典例2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是直线上的动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为_______.
【答案】1
【详解】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，
则在以为直径的圆上，该圆的方程为，
将和相减得：，
即得到直线的方程为，
又因为点P是直线，故，
则直线的方程为，即，
当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点，
当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，
此时最大值即为Q，M之间的距离，而，
即点到直线AB的距离的最大值为1，
故答案为：1
【变式1】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
【变式2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
【答案】
【详解】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
【变式3】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是__________．
【答案】
【详解】由题意可知，的最小值即为圆上一点到直线与圆交点的最小距离，
圆心，半径，圆心到直线的距离为，
由题意可知．
故答案为：.
题型13直线与圆综合问题
【典例1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又圆心在，
联立，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的方程为.
.
（2）因为，所以在圆外，
过作圆的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切，
若切线斜率存在时，设切线方程，即，
则，解得，
所以切线方程为，即.
综上：切线方程为或.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【答案】（1）最大值为2，最小值为1；（2）；（3）；（4）最大值为3，最小值
【详解】（1）由于，故可令．
则原式变为．
，
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．
故函数的值域为．
（3）解法一：
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函数的值域为．
解法二：
由解法一得，
则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，
点在半圆上，
当直线与半圆，相切时，，解得，
数形结合易得，即．．
故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
【典例3】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线.
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，此时直线方程为
【详解】（1）直线，即，
联立解得所以不论取何值，直线必过定点.
圆，圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆内部，
则直线与圆恒有两个交点.
（2）直线经过圆内定点，圆心，
记圆心到直线的距离为d.
因为，所以当d最大时，取得最小值，
所以当直线时，被圆截得的弦最短，
此时，
因为，所以直线的斜率为，又直线过点，
所以当取得最小值时，直线的方程为，即，
综上：最小值为，此时直线方程为.
【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；
(2)当弦长时，求直线的方程；
(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)为定值，且
【详解】（1）解：直线与直线垂直，且，.
故直线方程为，即.
圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心.
（2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，
且，合乎题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
，是中点，圆圆心为，半径为，
，则由，得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（3）解：，.
①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得，
即点，则，
又，.
②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中，
则由可得，即点，则.
.
综上所述，与直线的斜率无关，且.
【变式1】（2023秋·高一单元测试）已知直线：与圆：相交于不重合的，两点，是坐标原点，且，，三点构成三角形．
(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，取得最大值时
【详解】（1）解法一：
由题意知：圆心到直线的距离 ，
因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为.
解法二：
联立，化简得：
，得，
因为A，B，O三点构成三角形，所以
所以的取值范围为.
（2）直线：，即，
点O到直线距离：，
所以
所以，（且）
设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时.
【变式2】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线过点，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，求弦长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①：因为，故点在圆上，
且圆心与连线的斜率为，
因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2；
所以直线的一般式方程为；
若选②：设直线的倾斜角为，由得；
故直线的斜率；
所以直线的一般式方程为；
若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率；
所以直线的一般式方程为
（2）曲线，即；
故为圆，圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离为；
所以弦长.
【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）已知点，设直线：（，）与圆相交于异于点的，两点.
(1)若，求的值；
(2)若，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的斜率的值；
(3)当时，是否存在一定圆，使得直线与圆相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，定圆.
【详解】（1）因为，又在圆上，
所以直线过圆的圆心，所以.
（2）因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，得，
当时，直线与坐标轴不能围成三角形，故，
在中，令，得；令，得，
所以，得，
所以，解得或，
所以或.
（3）联立，消去并整理得，
，即，
设，，
则，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以点到直线的距离为，
所以直线与以为圆心，为半径的圆相切，
所以存在一个定圆，使得直线与圆相切.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知两点，，是圆上的点，满足，则这样的点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【详解】线段AB的斜率，故线段AB的垂直平分线的斜率为，
又线段AB的中点坐标为，
故线段AB的垂直平分线的方程为，整理得，
圆心到直线的距离，
故与圆C相交，所以满足条件的点P有2个.
故选：C.
3．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】C
【详解】由题知，圆心坐标，半径，
将直线化为点斜式得，
知该直线过定点，
又，故该定点在圆内，
所以该直线与圆必相交.
故选：C
4．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设BC的中点 P的坐标是 ，
∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ，
，即 ，
化简得 ，
∴BC的中点的轨迹方程是 ，
故选： C．
5．（2023·重庆·高二统考学业考试）直线被圆截的的弦长为（ ）
A．B．C．
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为3，
则圆心到直线的距离为，
则被圆截的的弦长为.
故选：B
6．（2023·全国·高三对口高考）已知直线与圆交于不同的两点M，N，且，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设MN的中点为A，则，并且，如图所示，
由，可得，
所以 ，解得，
∴O到直线MN的距离，解得.
故选：D
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【详解】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，
所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
8．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）圆心在轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】依题可设圆心坐标为，
由题意得圆心到直线的距离为2，
即，解得，
所以圆的方程为：或，
故选：AC．
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
【答案】
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.
12．（2023·全国·高三对口高考）若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】直线过定点，
由得，故曲线是圆心为，半径为的半圆，
如图所示：
当直线与半圆相切时，直线倾斜角为，直线的斜率，
由图可得.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：
(1)圆的一般方程；
(2)圆过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)和
【详解】（1）设圆的一般方程为，
代入三个点得，解得
所以圆的一般方程为.
（2）圆的一般方程化为标准形式为.
当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即.
综上所述，圆过点的切线方程为和.
14．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知，，，圆经过三点.
(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
(2)若经过点的直线l与圆C交于两点，求弦长的取值范围.
【答案】(1)，圆心是，半径
(2)
【详解】（1）解：由题意，点，，，且圆经过三点，
可得圆是以为直径的圆，
设圆的圆心坐标为，半径为，
可得，即圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为.
（2）解：由圆的性质得，当直线过圆心，此时弦长取得最大值，最大值为，
当为中点的弦最短，其中，所以最短弦长为，
所以弦长的取值范围.
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
2．（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，
又因为与y轴相切，所以半径，
易知圆心到直线的距离为，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，
所以，解得；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.
故选：C
3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
4．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
【答案】
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为__________．
【答案】
【详解】因为圆可化为，故圆心为，半径为，
所以圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
所以，则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点且与轴平行的直线与圆交于点，，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，（与不重合），证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆的一般方程为，
又圆过点，，，
则，
解得，
所以圆的一般方程为，
即其标准方程为；
（2）由题意得，所以直线，点，点，
设点，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圆上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入，
得，
则，，
所以，
即，
即，
得或，
当时，直线的方程为，过点，
当时，直线的方程为，过点，在直线上，不成立，
当直线斜率不存在时，，即，解得或（舍），所以直线过成立，
综上所述，直线恒过点.
2．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知圆心在轴上的圆与直线切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，与圆联立方程组，
可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为.
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定方法的代数法与几何法。
②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。
③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长度、面积、周长等。
④会求待定参数并能解决与之相关的综合问题。
通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关的综合问题.
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。
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