高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程当堂检测题

单元疑难突破练(二)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．过两点A(0，b)，B(2，－3)的直线的倾斜角为60°，则b＝(　　)

A．－9    B．－3    C．5    D．6

【解析】选A.由题意知，直线AB的方程为：y＋3＝(x－2).把x＝0代入，得b＋3＝－6.故b＝－9.

2．如果直线x＋my－1＝0与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么m的值为(　　)

A．－2    B．    C．2    D．－

【解析】选A.由直线x＋my－1＝0与直线2x＋y＋1＝0垂直，

所以2＋m＝0，解得m＝－2.

3．直线3x－y－2＝0与直线ax＋2y＋2＝0平行，则两平行直线的距离为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.由于直线3x－y－2＝0与直线ax＋2y＋2＝0平行，

则－a＝6，得a＝－6，直线ax＋2y＋2＝0的方程为－6x＋2y＋2＝0，化简得3x－y－1＝0，

因此，两平行线间的距离为＝.

4．已知直线l1：x sin α＋2y－1＝0，直线l2：x－y cos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选B.直线l1：x sin α＋2y－1＝0，直线l2：x－y cos α＋3＝0，若l1⊥l2，则sin α－2cos α＝0，即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.

5．若直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)经过第一、二、三象限，则A，B，C满足的条件为(　　)

A．A，B，C同号     B．AC>0，BC<0

C．AC<0，BC>0     D．AB>0，AC<0

【解析】选B.因为直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)经过第一、二、三象限，

所以斜率－>0，在y轴上的截距－>0，

所以BC<0，两式相乘可得AC>0.

6．已知直线kx－y＋2＝0和以M(3，－2)，N(2，5)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为(　　)

A．k≤       B．k≥

C．－≤k≤     D．k≤－或k≥

【解析】选C.因为直线kx－y＋2＝0恒过定点A(0，2)，

又因为kAM＝－，kAN＝，

所以直线的斜率k的范围为－≤k≤.

二、多选题(共2小题，每小题5分，满分10分；选漏得3分，选错得0分)

7．下列说法正确的是(　　)

A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)

B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2

C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°

D．过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0

【解析】选ABD.y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，

则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；

令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；

设过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，

因为直线x－2y＋3＝0的斜率为，

所以k·＝－1，解得k＝－2，

则过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确．

8．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0      B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0      D．x－y－1＝0

【解析】选AC.当直线过原点时，可得斜率为＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1，2)，可得－＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.

三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

9．过点P(1，3)的直线分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线的方程为________．

【解析】设A(m，0)，B(0，n).由P(1，3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).由两点式直接得方程＝，即3x＋y－6＝0.

答案：3x＋y－6＝0

10．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．

【解析】设P(m，1)，则Q(2－m，－3)，

将Q坐标代入x－y－7＝0

得，2－m＋3－7＝0.

所以m＝－2，

所以P(－2，1)，Q(4，－3)，

所以kl＝－.

答案：－

11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________.

【解析】依题意，x1＋y1＝7，x2＋y2＝5，

又M为线段AB的中点，

则M，

设a＝，b＝，则a＋b＝6，

所以|OM|2＝a2＋b2≥(a＋b)2＝18，

当且仅当a＝b＝3时等号成立，此时M到原点的距离最小值为|OM|min＝3.

答案：3

12．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．

【解析】的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.

答案：3

13．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．

【解析】将A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，

得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，

所以l1⊥l2.

答案：l1⊥l2

14．经过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为________.

【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，

故设直线方程y－1＝k(x－2)，k＜0，

令x＝0可得，y＝1－2k，

令y＝0可得x＝2－，

则S△AOB＝OA·OB＝×|2－||1－2k|＝

≥(4＋4)＝4，

当且仅当－4k＝－，

即k＝－时取等号，此时直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

答案：x＋2y－4＝0

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．

【解析】若l在两坐标轴上截距为0，

设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3.

解得k＝－6±.

此时l的方程为y＝x；

若l在两坐标轴上截距不为0，

设l：＋＝1，即x＋y－a＝0，

则＝3.解得a＝1或13.

此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.

综上，直线l的方程为y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.

16．(10分)已知△ABC中，点A(1，3)，B(2，1)，C(－1，0).

(1)求直线AB的方程；

(2)求△ABC的面积．

【解析】(1)由题意可知，直线AB的斜率k＝＝－2，

故直线AB的方程为y－1＝－2(x－2)，

即y＝－2x＋5.

(2)点C到直线AB的距离d＝＝，|AB|＝＝，故△ABC的面积S＝|AB|d＝.

17．(10分)已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0，0)，M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．

【解析】如图，设点O(0，0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点O′(x，y)，

则·2＝－1，且2·－＋1＝0，

由此得O′，

则直线MO′的方程为y－3＝x，

由得

即P的坐标为，此时，||PO|－|PM||最大值为|MO′|＝，

即||PO|－|PM||的最大值为.