数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置复习练习题

十八　直线与圆的位置关系

(15分钟　30分)

1．(多选题)在同一直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是(　　)

【解析】选AD.圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a，0)，半径为|a|，

由题意可得d＝，

不妨＜|a|，可得＜1，即1－2a＋a2＜1＋a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确；

当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确．

2．已知直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋y2＋ay－1＝0相切，则实数a的值为(　　)

A．－1      B．4      C．－1或4      D．－1 或2

【解析】选C.圆C：x2＋y2＋ay－1＝0的标准方程为x2＋2＝1＋，可知圆心坐标为，半径＝.

因为直线2x－y＋3＝0与圆C相切，所以＝.化简得a2－3a－4＝0，解得a＝4或a＝－1.

3．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2，6]          B．[4，8]

C．[，3]       D．[2，3]

【解析】选A.因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，

所以A，B，则＝2.

因为点P在圆2＋y2＝2上，

所以圆心为，

则圆心到直线距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d的范围为，

则S△ABP＝d＝d∈.

4．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．

【解析】由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.

所以圆心C(0，－1)，半径r＝2.

圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，

所以|AB|＝2＝2＝2.

答案：2

5．过定点M的直线：kx－y＋1－2k＝0与圆：2＋2＝9相切于点N，求.

【解析】直线：kx－y＋1－2k＝0过定点M(2，1)，(x＋1)2＋(y－5)2＝9的圆心，半径为3；定点与圆心的距离为＝5.

过定点M的直线：kx－y＋1－2k＝0与圆：(x＋1)2＋(y－5)2＝9相切于点N，

则＝＝4.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为(　　)

A．        B.

C.          D.

【解析】选A.依题意可知，直线与圆相交或相切．x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，

即为＋2＝2－a.

由≤，解得a≤0.

2．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，△ABC为等腰直角三角形，则实数a＝(　　)

 A．1      B．2      C．1或2      D．1或－1

【解析】选D.因为△ABC是等腰直角三角形，

所以圆心C到直线ax＋y－1＝0的距离为1×sin 45°＝1×＝.

由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝±1.

3．曲线y＝1＋与直线y＝k＋4有两个不同交点，实数k的取值范围是(　　)

A．k≥        B．－≤k<－

C．k>        D．<k≤

【解析】选D.y＝1＋可化为x2＋2＝4，

所以曲线y＝1＋表示以为圆心，2为半径的圆的y≥1的部分，又直线y＝k＋4恒过定点A可得图象如图所示：

当直线y＝k＋4为圆的切线时，可得d＝＝2，解得k＝，

当直线y＝k＋4过点B时，k＝＝.

由图象可知，当y＝k＋4与曲线有两个不同交点时<k≤.

4．过圆O：x2－2x＋y2－15＝0内一点M(－1，3)作两条相互垂直的弦AB和CD且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为(　　)

A．16      B．17      C．18      D．19

【解析】选D.将圆的一般方程x2－2x＋y2－15＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝16，得圆心O的坐标为(1，0)，半径长为4.

过圆心O作弦AB和CD的垂线可得一矩形，且OM是该矩形的一条对角线．

由AB＝CD可知该矩形为正方形．

由OM＝＝及垂径定理可得AB＝CD＝2＝，

所以S四边形ACBD＝＝19.

【误区警示】本题容易转化为一条弦过圆心．解决本题，应该作出图象，把弦长相等转化为圆心到弦所在直线距离相等．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，则b可取的值为(　　)

A．－2      B．±      C．2      D．±

【解析】选AC.因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，所以＝1，解得b＝±2.

6．若圆x2＋y2＝r2上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值(　　)

A．      B．5      C．      D．6

【解析】选ABC.圆心(0，0)到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，半径为r，若圆上恰有一个点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r＝4或r＝6，故当圆x2＋y2＝r2上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，所以r∈(4，6).

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，过点P(1，0)作该圆的一条切线，切点为A，那么线段PA的长度为________．

【解题指南】根据勾股定理求切线长．

【解析】圆x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，

即(x＋1)2＋(y－4)2＝9，故设点C(－1，4)为圆心、半径R＝3，由切线长定理可得切线长＝＝＝.

答案：

8．过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·的值为________．

【解析】依题意作出图象．

由题意可知，PA⊥OA，因为点A在圆O上，

所以PA是圆O的一条切线．作出另一条切线PB，如图所示．

因为tan ∠POA＝＝，且∠POA∈，

所以∠POA＝.因为A，B均是切点，

所以∠PBO＝∠PAO＝，∠POB＝∠POA＝，

所以∠BPA＝.

·＝|PA|·|PB|·cos ∠BPA＝××＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知圆C的圆心为(1，1)，直线x＋y－4＝0与圆C相切．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若另一条直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求此直线的方程．

【解析】(1)半径r＝＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)由弦长为2得圆心到直线的距离为＝1.

当直线斜率不存在时，x＝2，满足题意；当直线斜率存在时设直线y－3＝k(x－2)，

即kx－y＋3－2k＝0，由＝1，解得k＝，直线方程3x－4y＋6＝0.

综上，所求直线方程为x＝2或3x－4y＋6＝0.

10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．

(1)求圆A的方程．

(2)当MN＝2时，求直线l的方程．

【解析】(1)设圆A的半径为r，

因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

所以r＝＝2，

所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)当直线l与x轴垂直时，

则直线l的方程为x＝－2，

此时有MN＝2，即x＝－2符合题意．

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＝0，因为Q是MN的中点，

所以AQ⊥MN，所以AQ2＋＝r2，

又因为MN＝2，r＝2，

所以AQ＝＝1，

解方程AQ＝＝1，得k＝，

所以此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，

即3x－4y＋6＝0.

综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

【创新迁移】

(多选题)直线l：x＋y＝t和圆O：x2＋y2＝20交于点A和B，且△AOB的面积为整数，则所有满足要求的正整数t的值为(　　)

A．2       B．4       C．5      D．6

【解析】选AD.直线l：x＋y＝t，即x＋y－t＝0，所以圆心(0，0)到直线的距离d＝，

所以弦长AB＝2，即AB＝2，

面积S＝AB×d＝，

所以只有t取2或6时，满足要求．