人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程巩固练习

阶段重点强化练(二)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若直线l平行于直线3x＋y－2＝0且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　)

A．3x＋y±10＝0    B．3x＋y±＝0

C．x－3y±10＝0    D．x－3y±＝0

【解析】选A.设与直线3x＋y－2＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，由原点到直线l的距离为，得＝，则m＝±10，所以直线l的方程是3x＋y±10＝0.

2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0和直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值为(　　)

A．1        B．－2

C．1或－2      D．－

【解析】选A.直线x＋(1＋m)y－2＝0和直线mx＋2y＋4＝0平行，可得，得：m＝1.

3．直线l：(m－1)x－my－2m＋3＝0(m∈R)过定点A，则点A的坐标为(　　)

A．(－3，1)    B．(3，1)

C．(3，－1)    D．(－3，－1)

【解析】选B.根据直线(m－1)x－my－2m＋3＝0

得m(x－y－2)－x＋3＝0，

故直线过定点为直线x－y－2＝0和－x＋3＝0的交点，

联立方程得，

解得，

所以定点A的坐标为A(3，1).

4．直线l的斜率存在，且经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)

A．

B．∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪

D．(－∞，－1)∪

【解析】选D.设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y－2＝k(x－1)，

令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，

则－3<1－<3，

解得k>或k<－1.

5．设某直线的斜率为k，且k∈，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．         B．

C．∪      D．∪

【解析】选D.直线l的斜率为k，倾斜角为α，

若k∈，

所以－＜tan α＜

所以α∈∪.

6．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是(　　)

A．(－3，1)    B．(4，1)

C．(－2，1)    D．(2，－1)

【解析】选A.设第四个顶点为C.当点C的坐标为(－3，1)时，|OC|＝，|AB|＝，|AC|＝4，|OB|＝3.

因为|OC|≠|AB|，|AC|≠|OB|，

所以四边形ABOC不是平行四边形，A不正确；

当C点坐标为(4，1)时，因为＝＝，即OA∥BC且OA＝BC，故OBCA是平行四边形，B正确；

当C点坐标为(－2，1)时，因为＝＝，即OC∥BA且OC＝BA，故OBAC是平行四边形，C正确；

当C点坐标为(2，－1)时，因为＝＝，即OC∥AB且OC＝AB，故OCBA是平行四边形，D正确．

二、多选题(共2小题，每小题5分，满分10分；选漏得3分，选错得0分)

7．已知直线l经过点(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　)

A．2x＋3y－18＝0      B．2x－y－2＝0

C．x＋2y＋2＝0      D．2x－3y＋6＝0

【解析】选AB.当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.

由已知得＝，

所以k＝2或k＝－，

所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.

8．已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3

B．若l1∥l2，则m＝3

C．若l1⊥l2，则m＝－

D．若l1⊥l2，则m＝

【解析】选BD.直线l1∥l2，则3－m(m－2)＝0，

解得m＝3或m＝－1，但m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0

即x－y－1＝0，两直线重合，只有m＝3时两直线平行，A错，B正确；

l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，m＝，C错，D正确．

三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

9．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点的直线的倾斜角为________．

【解析】k＝＝＝1，所以直线的倾斜角为45°.

答案：45°

10．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________．

【解析】利用反射定理可得，点Q(4，3)关于x轴的对称点Q′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线l所在的直线PQ′的方程为＝，化简得2x＋y－5＝0.

答案：2x＋y－5＝0

11．将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(－2，1)重合，则直线y＝x＋4关于折痕对称的直线为________．

【解析】因为点P(1，2)与点Q(－2，1)重合，

所以折痕所在直线是PQ的中垂线，其方程为3x＋y＝0；

联立可得交点(－1，3).

在直线y＝x＋4取一点A(0，4)，

设A(0，4)关于折痕的对称点为A′(x，y)，

则，

解得A′；

由直线的两点式方程可得＝，

整理得x＋7y－20＝0.

答案：x＋7y－20＝0

12．两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点为________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．

【解析】联立解得

所以两直线2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交点坐标为(3，－2)；

当直线l过原点时，直线方程为y＝－x，即2x＋3y＝0，

当直线l不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，则3－2＝a，即a＝1.

所以直线方程为x＋y－1＝0.

所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.

答案：(3，－2)　2x＋3y＝0或x＋y－1＝0

13．光线自点M(2，－3)射到y轴上的点N(0，－1)后被y轴反射，则反射光线所在直线与x轴的交点坐标为________．

【解析】本题主要考查光的反射性质在直线方程中的应用与利用点斜式求直线的方程．

如图，点M(2，－3)关于直线lNP：y＝－1的对称点为M′(2，1)，于是反射光线所在的直线方程的斜率为kM′N＝＝1，故所求直线方程为y－(－1)＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.令y＝0得x＝1，所以反射光线所在直线与x轴的交点坐标为(1，0).

答案：(1，0)

14．无论m为何值，直线mx＋(3m＋1)y－1＝0必过定点坐标为________．

【解析】根据题意，mx＋(3m＋1)y－1＝0

即mx＋3my＋y－1＝0，变形可得m(x＋3y)＋y－1＝0，

则有，

解可得，

即直线mx＋(3m＋1)y－1＝0必过定点坐标为(－3，1).

答案：(－3，1)

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

【解析】(1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)，整理得3x＋4y－14＝0.

(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，d＝＝3，

解得n＝1或－29.

所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.

16．(10分)已知直线l：y＝4x和点P(6，4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，

(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；

(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．

【解析】(1)因为点P(6，4)，

所以kOP＝.

又因为OP⊥AB，

所以kAB＝－.

因为AB过点P(6，4)，

所以直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0.

(2)设点A(a，4a)，a>0，点B坐标为(b，0)，b>0，

当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，

此时△OAB的面积S＝×6×24＝72.

当直线AB的斜率存在时，有＝，

解得b＝，故点B的坐标为，

故△OAB的面积S＝··4a＝，

即10a2－Sa＋S＝0.①

由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，

故判别式Δ＝S2－40S≥0，所以S≥40，

故S的最小值等于40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2.

综上可得，△OAB面积的最小值为40，

当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10，0).

17．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).

(1)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；

(2)证明：不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；

(3)证明：不论a为何值，直线恒过第四象限．

【解析】(1)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，

当且仅当或成立．

所以a≤－1，故所求a的取值范围为(－∞，－1].

(2)方程可整理成a(x－1)＋x＋y＋2＝0，

当x＝1，y＝－3时方程a(x－1)＋x＋y＋2＝0对a∈R恒成立，因此，直线恒过点(1，－3).

(3)由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a为何值，直线恒过第四象限．