高中2.4 圆的方程测试题

十六　圆的标准方程

(15分钟　30分)

1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4      B．＋＝9

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4      D．＋＝9

【解析】选C.半径2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.

2．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在该圆上，

所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，

所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，

即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，

所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，

所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝.

3．圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为(　　)

A．(x－1)2＋y2＝4    B．(x＋8)2＋y2＝25

C．(x－8)2＋y2＝25    D．(x－2)2＋y2＝4

【解析】选B.设圆心为(a，0)(a<0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离为d＝＝＝4，解得a＝－8，则圆C的方程为(x＋8)2＋y2＝25.

4．已知直线x＋y＋1＝0与圆C相切，且直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1    B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x－2)2＋(y－1)2＝2    D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2

【解析】选D.将直线mx－y－2m－1＝0变形得y＋1＝m(x－2)，易知直线恒过定点(2，－1)，

由题意得圆C的圆心坐标为(2，－1)，又因为直线x＋y＋1＝0与圆C相切，

所以半径r＝＝，

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2.

5．设两条直线x＋y－2＝0，3x－y－2＝0的交点为M，若点M在圆(x－m)2＋y2＝5内，求实数m的取值范围．

【解析】由题意可知：

解得交点，

交点M在圆2＋y2＝5的内部，

可得2＋1<5，解得－1<m<3.

所以实数m的取值范围为(－1，3).

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A．2＋2＝5      B．2＋2＝5

C．2＋y2＝5        D．x2＋2＝5

【解析】选A.由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，代入可得a＝1，即圆心为，半径为r＝＝，

所以圆的标准方程为2＋2＝5.

2．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　)

A．2或10       B．4或8

C．4或6       D．2或4

【解析】选A.圆心C(3，3)，半径为6，由题意得，圆心C到直线x＋y－m＝0距离为圆C半径的，

所以＝×6，所以m＝2或10.

3．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)

A．2＋y2＝    B．2＋y2＝

C．x2＋2＝    D．x2＋2＝

【解析】选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心为(0，a)，半径为r，

则r sin ＝1，r cos ＝，解得r＝，

即r2＝，＝，

即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.

4．已知圆C关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋(y＋2)2＝1    B．(x－2)2＋y2＝1

C．x2＋(y－2)2＝1    D．(x＋2)2＋y2＝1

【解析】选C.因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

所以圆心(1，1)，半径为1.圆心(1，1)关于直线x－y＋1＝0对称点为(0，2).

所以圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.

【误区警示】本题易错在求圆心．两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，则k的值可以是(　　)

A．    B．3    C．－1    D．4

【解析】选ABD.因为过点(3，1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，点(3，1)在圆的外部，所以(3－2k)2＋(1－k)2>k，解得k<1或k>2，又k>0.k的范围是(0，1)∪(2，＋∞).

6．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1    B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1    D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1

【解题指南】可以利用待定系数法求圆的标准方程．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．

【解析】选CD.设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，

则解得或

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知圆的内接正方形相对两个顶点的坐标分别为，，则这个圆的方程是________．

【解题指南】由题意可知，正方形的对角线长为圆的直径．

【解析】圆心为，的中点(4，1)，

半径为＝.

所以圆的方程为2＋2＝26.

答案：＋＝26

8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

【解析】直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)方程化成m(2x－2)－(y＋1)＝0.

由得所以直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过定点

(1，－1).

所以当直线与圆相切于定点(1，－1)时，半径最大．

此时半径为.

所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5

【补偿训练】

　若直线3x＋4y＋12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为________．

【解析】A(－4，0)，B(0，－3)，△AOB为直角三角形．

所以内切圆半径为r＝＝＝1，

根据图形(图略)可知圆心(－1，－1)，

所以内切圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.

答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若＝，求该圆的标准方程．

【解析】设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1(a>0，b>0).

因为圆与y轴相切，所以a＝1.因为|AB|＝，

所以圆心到x轴的距离为，所以b＝，

因此该圆的标准方程为(x－1)2＋2＝1.

10．点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2，2)，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．

【解析】由题意＝2，设P到直线OQ的距离为h，所以S△OPQ＝×h，

因为圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2，直线OQ的方程为y＝x，

所以圆心(－3，1)到直线OQ的距离为d＝＝2，

所以圆上的动点P到直线OQ的距离h的最小值为d－r＝2－＝，

所以S△OPQ＝×h的最小值为×2×＝2.

【创新迁移】

1．过点M(2，2)的直线l与坐标轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．

【解析】设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

由直线l过点M(2，2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，

所以a＝4，b＝4，不妨设A(4，0)，B(0，4)，

则圆心为(2，2)，半径为2，所以△OAB外接圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

答案：(x－2)2＋(y－2)2＝8

2．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”．

(1)设圆C0：(x－2)2＋y2＝1，求过点P的直线关于圆C0的距离比λ＝的直线方程；

(2)若圆C与y轴相切于点A，且直线y＝x关于圆C的距离比λ＝，求出圆C的方程．

【解析】(1)设过点P的直线方程为y＝k(x＋1)，

由圆C0：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为r＝1，

由题意可得＝，解得k＝±，

所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

(2)设圆的方程为2＋2＝r2，

由题意可得a2＋(3－b)2＝r2　①，

＝r　②，

＝r　③

由①②③联立方程组，可得a＝－3，b＝3，r＝3或a＝1，b＝3，r＝1，

所以圆C的方程为2＋2＝9或2＋2＝1.