人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品导学案

2.5.2　圆与圆的位置关系

基础过关练

题组一　圆与圆的位置关系的判断及其应用

1.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x-2y=0的位置关系是(　　)　　　　　

A.相交 B.内切 C.外切 D.相离

2.设圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆C2:x2+y2-4x+2y-9=0,则它们公切线的条数是(　　)

A.1    B.2  C.3    D.4

3.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)

A.5    B.7 C.9    D.11

4.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　)

A.E=-4,F=8          B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8          D.E=4,F=8

5.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.

(1)求证:两圆相交;

(2)求两圆公共弦所在直线的方程.

6.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).

(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;

(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.

题组二　圆与圆的位置关系的综合运用

7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(　　)

A.(0,-1)          B.(0,1]

C.(0,2-]          D.(0,2]

8.已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得·=0,则r的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3] D.[3,5)

9.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为(　　)

A.-1    B.1 C.3   D.0

10.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为 (　　)

A.2 B.   C.     D.

11.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于(　　)

A.4   B.4  C.8   D.8

12.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.

(1)m取何值时两圆外切?

(2)m取何值时两圆内切?

(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

13.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.

(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?

(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广.

能力提升练

题组一　圆与圆的位置关系

1.()若圆C:x2+y2=r2(r>0)与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有公共点,则r的取值范围是(　　)

A.(3,6) B.[1,7] C.[1,9] D.[4,8]

2.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是(　　)

A.∪

B.(-2,-)∪(,2)

C.∪

D.∪(,+∞)

3.(2019河南鹤壁高一期末,)已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(　易错　)

A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3) D.[1,3]

4.(2020安徽六安一中高一期末,)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为　　　　　　　. 

5.(2020山西太原第五中学高二上期中,)已知圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圆C2:(x+1)2+(y+1)2=10.

(1)证明圆C1与圆C2相交;

(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点,求圆C3的方程.

深度解析

题组二　圆与圆的位置关系的综合运用

6.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)

A.     B.   C.2      D.3

7.(2019福建三明高一期中,)已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆C1:x2+y2=上的动点,点F是圆C2:(x-3)2+(y+1)2=上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　)

A.2    B. C.3    D.4

8.(2019浙江嘉兴一中期中,)我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.其作法如下:①作一个正方形ABCD;②以AD的中点E为圆心,以EC为半径作圆E,交AD的延长线于F;③以D为圆心,以DF为半径作圆D;④以A为圆心,以AD为半径作圆A交圆D于G,则△ADG为黄金三角形.根据上述作法,可以求出cos 36°=(　      　)

A.          B.

C.     D.

9.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M,满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.(2019广东深圳耀华实验中学高二期中,)已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为　　　　. 

11.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.A　由题意得,圆x2+y2=2的圆心O1(0,0),圆x2+y2+2x-2y=0的圆心O2(-1,1),圆心距d=|O1O2|==,两个圆的半径均为,故|r1-r2|<d<r1+r2,所以两个圆相交.故选A.

2.B　圆C1:(x-5)2+(y-3)2=9,圆心为(5,3),半径为3;圆C2:x2+y2-4x+2y-9=0,圆心为(2,-1),半径为,两圆的圆心距为=5,∵-3<5<+3,∴两个圆相交,∴两个圆的公切线有2条.故选B.

3.C　由题意知圆C1的圆心为(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心为(1,-2),半径r2=2.所以两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.

4.C　

②-①可得4x+Ey-F-4=0,即x+y-=0,

由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,

得解得

5.解析　(1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,

∴C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为,

∵|C1C2|==2∈(0,2),∴两圆相交.

(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,

(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.

6.解析　(1)设圆O1、圆O2的半径长分别为r1、r2,且易知r1=2.

因为两圆相外切,所以|O1O2|=r1+r2.

所以r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1).

所以圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.

(2)由题意,设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=(r3>0),

圆O1,O2的方程相减,得弦AB所在直线的方程为4x+4y+-8=0.

所以圆心O1(0,-1)到直线AB的距离为==,

解得=4或=20.

所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

7.C　由M∩N=N知N⊆M,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)内切或内含,且4>r2.所以2-r≥,又r>0,所以0<r≤2-.

8.B　∵·=0,∴点P在以AB为直径的圆x2+y2=4上.∵圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B),使得·=0,∴圆(x-3)2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2=4有公共点,∴|r-2|≤3≤r+2,解得1≤r≤5,故选B.

9.B　由题意知,直线x-y+c=0为线段AB的垂直平分线,且AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,∴m+2c=1.

10.B　由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.

圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.

∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,

∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤=,当且仅当a=b时取等号.故选B.

11.C　∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),

∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.

设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个实数根,

整理得x2-10x+17=0,

∴a+b=10,ab=17.

∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,

∴|C1C2|===8.

12.解析　两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,

圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为和.

(1)当两圆外切时,=+,解得m=25+10.

(2)当两圆内切时,因定圆的半径小于两圆圆心间距离5,故只有-=5,解得m=25-10.

(3)两圆的公共弦所在直线的方程为

(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为

2=2.

13.解析　(1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OA⊥PA,同理可得OB⊥PB.

(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.

这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.

能力提升练

1.C　两圆心间的距离|CE|==5,

依题意得,|r-4|≤5≤r+4,

解得1≤r≤9.

因此,r的取值范围是[1,9].故选C.

2.C　根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d==|a|,所以2-1<|a|<2+1,即<|a|<,所以-<a<-或<a<.故选C.

3.A　由PM⊥PN得,P点在以MN为直径的圆上(不同于M,N),

以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4,由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0).

所以两圆的圆心间的距离d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.

易错警示　由PM⊥PN知,P点在以MN为直径的圆上(不同于M,N),由P,M,N不共线知,点P的轨迹是以MN为直径的圆(不含M,N两点),从而由两圆有公共点得|r-2|<3<r+2.

4.答案　x+1=0

解析　圆C1:x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1;

圆C2:(x-4)2+y2=25,圆心为(4,0),半径为5.

易知两圆内切,切点为(-1,0),又两圆圆心都在x轴上,

所以两圆公切线的方程为x=-1,即x+1=0.

5.解析　(1)证明:依题意得,C1(1,-5),r1==5,C2(-1,-1),r2=,

因此,5-<|C1C2|==2<+5,∴C1与C2相交.

(2)设圆C1与圆C2的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

联立②-①得x-2y+4=0,即x=2y-4,

代入①式得,(2y-5)2+(y+5)2=50,解得

∴圆C3过A(-4,0),B(0,2),原点O(0,0).

易得△ABO为直角三角形,∴r=AB=,圆心为AB的中点(-2,1),

∴圆C3的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

解题模板　求过两圆交点的圆的方程有两种方法:一是利用圆系方程,先设后求,待定系数;二是求出交点坐标,再结合其他条件求解.本题给出第三点是坐标原点,利用求交点坐标,根据三点的特殊关系求解即可.

6.D　C1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,

C2的方程可化为(x-1)2+y2=1.

设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a,b).

依题意得⇒

因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.

如图所示.

∵|C1C'2|==5,

∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-2=3,

故选D.

7.D　易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上,

设圆C1关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C'1,则C'1:(x-1)2+(y+1)2=,

由几何知识知,当F、E'、P共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|=|E'F|=|C'1C2|++=4,故选D.

8.B　以A为原点,直线AD为x轴,直线AB为y轴建立平面直角坐标系,

设|AD|=2,则|CE|==|EF|,又|ED|=1,∴|DF|=-1.

圆A的方程为x2+y2=4,①

圆D的方程为(x-2)2+y2=(-1)2,②

设G(x0,y0),

由①②得x0=,

∵|AG|=|AD|=2,

∴cos 36°==,故选B.

易错警示　本题的实质是计算,而不是证明,题中已经给出“黄金三角形”的作法,在此基础上我们只需计算,即利用两圆的方程求出交点G的坐标,进而可以得到结论.如果解题过程中不能正确理解题意,试图证明结论将造成极大的麻烦.

9.答案　[0,3]

解析　设满足|MA|=2|MO|的点的坐标为M(x,y),

由题意得,=2,

整理可得,x2+(y-1)2=4,

即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆,

原问题转化为圆x2+(y-1)2=4与圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1有交点,

据此可得关于实数a的不等式组解得0≤a≤3,

所以实数a的取值范围是[0,3].

10.答案　9

解析　由题意知两圆内切,根据两圆分别为C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有=1,所以4a2+b2=1,所以+=(4a2+b2)=5++≥5+2=9,当且仅当=时,等号成立,

所以+的最小值为9.

11.解析　(1)由得圆心C(3,2),

∵圆C的半径为1,∴圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1,

过点A作圆C的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,

∴=1,∴|3k+1|=,

∴2k(4k+3)=0,

∴k=0或k=-,∴所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3.

(2)∵圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,

∴设圆心C(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又∵|MA|=2|MO|,∴设M(x,y), 则=2,

整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,

∴点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,

∴2-1≤≤2+1,解得0≤a≤,所以a的取值范围为.