数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置获奖作业课件ppt

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01直线与圆的方程在实际生活中的应用
02与圆有关的最值问题
03过直线与圆的交点的圆系方程
“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
思考3 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
第一步:建立坐标系，用坐标和方程表示有关的量．
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系．
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
1.一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险?
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
联立直线l与圆O的方程，消去y，得
由△<0，可知直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.
2.已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求B城市处于危险区内的时间．
所以B城市处于危险区内的时间为t＝1(h).
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步：建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算, 解决代数问题;第三步：把代数运算的结果“ 翻译”成几何结论.
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(2)求y－x的最大值和最小值．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值或最小值，
在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．
设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
因为圆心在直线2x－y－3＝0上，
所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.
求过直线与圆的交点的圆系方程的方法
(1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；(2)设圆系方程求参数，一般地，过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.　
求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．
所以直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4，4).
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又点P(－1，－2)在圆上，将(－1，－2)代入圆的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
过一点与圆相切的切线方程问题：
(1) 过圆上一点与圆相切的切线方程求法：
【例1】过圆C: x2＋y2＝10上一点P(1, 3), 且与圆C相切的切线方程为__________.
一般地, 过圆C: x2＋y2＝r2上一点P(x0, y0), 且与圆C相切的切线方程为
【例2】过圆C: (x－4)2＋(y－2)2＝10上一点P(1, 3), 且与圆C相切的切线方程为______________.
一般地, 过圆C: (x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0, y0), 且与圆C相切的切线方程为
过圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2上一点M(x0 , y0)的切线方程：
特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0 , y0)的切线方程：
【例3】过点P(1, 1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为________________.
y=1或3x-4y+1=0
注意：此种情况一定要对切线斜率存在与否进行讨论, 否则有可能会漏解；还有区分切线所过的点是否在圆上, 只需验证点的坐标是否满足圆的方程即可.
(2) 过圆外一点与圆相切的切线方程求法：
【变式】过点P(3,－1)与圆C: (x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_____________.
x=3或4x-3y-15=0
1. 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程.
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有
2. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m. 这条船能否从桥下通过?
解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为
由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有
因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1，
所以该船可以从船下穿过.
3. 在一个平面上, 机器人从与点C(5, －3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行, 在行进过程中保持与点C的距离不变, 它在行进过程中到过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少?
解：依题意得, 机器人在以C(5,－3)为圆心, 9为半径的圆上运动, 其圆的方程为
经过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线方程为
∴点C到直线AB的距离为
∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d＋r＝4.44,最远距离为d－r＝22.44.