2020-2021学年2.4 圆的方程课后作业题

十七　圆的一般方程

(15分钟　30分)

1．若圆的方程为＋＝0，则圆心坐标为(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选D.圆的方程可化为＋(y＋1)2＝，所以圆心坐标为.

2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则a＝(　　)

A．－       B．－

C．       D．2

【解析】选A.圆的方程可化为2＋2＝4，

所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：d＝＝1，解得a＝－.

3．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．

【解析】点P关于直线x＋y－1＝0的对称点为P′，将P和P′的坐标代入圆C的方程的方程组解得

所以圆的方程为x2＋y2－2y－3＝0，

即x2＋2＝4，

所以圆心的坐标为，半径为2.

答案：　2

4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．

【解析】设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．

答案：x2＋y2＝9

5．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．

【解析】因为＝＝5，

＝＝2，

＝＝，

所以<<.

所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外．

所以圆的半径r＝＝5，

所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，

即x2＋y2－6x－8y＝0.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　)

A．－5       B．5－

C．30－10      D．无法确定

【解析】选C.把圆的方程化为标准方程得：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，

则圆心A坐标为(1，－2)，圆的半径r＝5，设圆上一点的坐标为(x，y)，原点O坐标为(0，0)，

则＝，r＝5，

所以圆上一点到原点O最小距离为5－.

则x2＋y2的最小值为(5－)2＝30－10.

2．方程|x|－1＝表示的曲线是(　　)

A．—个圆        B．两个圆

C．一个半圆       D．两个半圆

【解析】选D.方程可化为2＋2＝1.

又|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1.

若x≤－1时，则方程为2＋2＝1；

若x≥1时，则方程为2＋2＝1.

3．过点P且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是(　　)

A．3x－y＋5＝0    B．x－3y＋5＝0

C．3x＋y－5＝0    D．x－3y－5＝0

【解析】选B.根据几何意义知：过P且被圆截得弦长最长的弦的直线是过圆心的直线；圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，

则所求直线l的斜率为k＝＝；

则直线l方程为y－1＝(x＋2)，即x－3y＋5＝0.

【补偿训练】

　圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)      B．(－∞，4)

C．(－4，＋∞)     D．(4，＋∞)

【解析】选B.根据圆的一般方程中D2＋E2－4F>0得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，圆关于直线y＝x＋2b对称可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－b<4.

4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是(　　)

A．2    B．1＋    C．1＋    D．2＋2

【解析】选B.本题考查点到直线的距离．

由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，

得(x－1)2＋(y－1)2＝1，

表示以M(1，1)为圆心，以r＝1为半径的圆．

先计算点M到直线x－y＝2的距离d＝＝，圆上的点到直线的距离的最大值为点M到直线的距离x－y＝2再加半径，即dmax＝d＋r＝1＋.

【误区警示】涉及与圆有关的最值问题一般转到圆心上去．圆上的点直线距离的最大值为圆心到直线的距离再加上半径．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有(　　)

A．(0，0)    B．    C．(3，1)    D．(1，1)

【解析】选BD.由得

即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.将选项中4个点代入，可得只有BD满足小于1，即BD选项中的点在圆内．

6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是(　　)

A．－2      B．0     C．1      D．3

【解析】选ACD.圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，

所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为________．

【解题指南】圆心为直径的中点，可以先求出圆心坐标，再求点B的坐标．

【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C的坐标为，设B的坐标为(x0，y0)，又A的坐标为(0，1)，由中点坐标公式得解得

所以B点的坐标为.

答案：(2，－3)

【补偿训练】

 在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．

【解析】圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知

解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2).

答案：(－∞，－2)

8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．

【解析】由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，

得＋＝－k2＋1.

所以当－k2＝0，

即k＝0时圆的面积最大，此时圆心坐标为.

答案：(0，－1)

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程．

【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．

因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，

所以|PO|2＋r2＝|PC|2，

所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.

10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

【解析】(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.

(2)设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，

即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由解得或

所以该圆必经过定点(0，4)和.

【创新迁移】

已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当＝时，求l的方程及△POM的面积．

【解析】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4，

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，

由题设知·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．

由于＝，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故直线l的方程为y＝－x＋.

又＝＝2，O到l的距离为，＝，所以，S△POM＝××＝，所以△POM的面积为.