人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步练习题
展开阶段重点强化练(三)
(60分钟 100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.两圆x2+y2-2x+6y+2=0,x2+y2+4x-2y-4=0的公共弦所在的直线方程为( )
A.3x-4y-3=0 B.4x+3y+5=0
C.3x+4y+9=0 D.4x-3y+5=0
【解析】选A.根据题意,两圆的方程为x2+y2-2x+6y+2=0,x2+y2+4x-2y-4=0,
则有,变形可得3x-4y-3=0;
即两个圆的公共弦所在的直线方程3x-4y-3=0.
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
【解析】选D.设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),且圆过原点,即(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
3.点P,Q在圆x2+y2+kx-4y+3=0上(k∈R),且点P,Q关于直线2x+y=0对称,则该圆的半径为( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.由题意可得圆的圆心坐标为:,再由圆上的点关于直线对称可得,直线过圆心,所以2·+2=0,解得k=2,所以圆的半径r===.
4.圆x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于( )
A.2 B.2 C.2 D.4
【解析】选B.令y=0,则圆的方程转换为x2+4x+1=0,
所以x1+x2=-4,x1x2=1,
所以|AB|=|x1-x2|==2.
5.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.由k=1时,圆心到直线l:y=x+1的距离d=.所以弦长为.
所以S△OAB=××=.
所以充分性成立,由图形的对成性当k=-1时,△OAB的面积为.所以必要性不成立.
6.直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( )
A. B.-或
C.或 D.或
【解析】选C.圆的半径为2,由弦长可得圆心到直线的距离d==,而圆心到直线的距离d==,解得k=±,所以直线的倾斜角为:或.
二、多项选择题:本题共2小题,每小题5分,共10分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
7.已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是( )
A.m∥l B.m⊥l
C.m与圆相离 D.m与圆相交
【解析】选AD.直线OP的斜率为,直线l的斜率为-,直线l的方程为:ax+by=a2+b2,
又P(a,b)在圆外,
所以a2+b2>r2,故m∥l,圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d=<=|r|,故m与圆相交.
8.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( )
A.公共弦AB所在直线方程为x-y=0
B.线段AB中垂线方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1
【解析】选ABD.对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,两式作差可得4x-4y=0,即公共弦AB所在直线方程为x-y=0,故A正确;
对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为,kAB=1,
则线段AB中垂线斜率为-1,即线段AB中垂线方程为:y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;
对于C,圆O1:x2+y2-2x=0,圆心O1到x-y=0的距离为d==,半径r=1
所以|AB|=2=,故C不正确;
对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1到x-y=0的距离为d=,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.
三、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把正确的答案填在题中的横线上
9.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相内切,则圆C的方程是________.
【解析】两圆的圆心距为:=5,
设所求圆的半径为r(r>0),由两圆内切的充分必要条件可得:|r-1|=5,
据此可得r=6,圆C的方程是(x-4)2+(y+3)2=36.
答案:(x-4)2+(y+3)2=36
10.若圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),关于直线x-y+2=0对称,则a的值为________,r的值为________.
【解析】因为圆O:x2+y2=r2(r>0),所以圆心为O(0,0),半径为r,又因为圆C:x2+y2+ax+by-7=0(a,b,r为常数),所以圆心为C,
由题意可知,C与O(0,0)关于x-y+2=0对称,且两圆的半径相等.
则解可得,a=4,b=-4,
此时C:x2+y2+4x-4y-7=0的半径为,
所以r=.
答案:4
11.已知a、b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为2,则ab的最大值为________.
【解析】因为直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为2,且圆的半径为2.
故圆心(a,b)到直线的距离d==.
故=,
因为a、b为正实数,故a+b=1,
所以ab≤=.
当且仅当a=b=时取等号.
答案:
12.已知圆C经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y-3=0上,则圆C的方程为________.
【解析】因为kAB=,AB中点为(0,-4),
所以AB中垂线方程为y+4=-2x,
即2x+y+4=0,
解方程组
得
所以圆心C为(-1,-2).
根据两点间的距离公式,得半径r=,
因此,所求的圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
答案:(x+1)2+(y+2)2=10
13.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=m(m>0),圆C上恰有两个点到直线l的距离为1.则m的取值范围是________.
【解析】圆C:x2+y2=4的半径为2,圆心坐标为:(0,0)
设圆心(0,0)到直线l:x+y=m的距离为d,
要想圆C上恰有两个点到直线l的距离为1,只需1<d<1+2,
即1<<3<|m|<3,
而m>0,所以<m<3.
答案:(,3)
14.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O;点L、S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d,则d=________.
【解析】由题意圆L与圆S关于原点对称,
设S(a,0)(a>0),则=2+3,a=4,
即S(4,0),所以L(-4,0).
设方程为y=kx(k≠0),
则三个圆心到该直线的距离分别为:d1=,d2=,d3=,
则d2=4(4-d)=4(4-d)=4(9-d),
即有4-=4-=9-
解得k2=,
则d2=4(4-)=即d=.
答案:
四、解答题:本大题共3小题,每小题10分,共30分.
15.(10分)已知圆C经过点A(-1,3),B(3,3)两点,且圆心C在直线x-y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过圆上一点A(-1,3)的切线方程.
【解析】(1)根据题意,设圆心的坐标为(a,b),
圆心C在直线x-y+1=0上,则有a-b+1=0,
圆C经过点A(-1,3),B(3,3)两点,
则AB的垂直平分线的方程为x=1,则有a=1,
则有,解可得b=2;
则圆心的坐标为(1,2),r2=|AC|2=4+1=5,
则圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5;
(2)根据题意,有KAC==-,则切线的斜率k=2,则切线的方程为y-3=2(x+1),变形可得2x-y+5=0.
16.(10分)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为2,直线l:3x+4y-1=0被圆M截得的弦长为2,且圆心M在直线l的右上方.
(1)求圆M的方程;
(2)设A(0,t),B(0,6-t)(2≤t≤4),若圆M是△ABC的内切圆,求AC,BC边所在直线的斜率(用t表示);
(3)在(2)的条件下求△ABC的面积S的最大值及对应的t值.
【解析】(1)设圆心M(a,0),由已知得M到l:3x+4y-1=0的距离为=1,所以=1.
又因为M在l的右上方,所以3a-1>0,
所以3a-1=5,所以a=2,
故圆的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)设AC斜率为k1,BC斜率为k2,
则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t-6.
由于圆M与AC相切,所以=2,
所以k1=;同理,k2=.
(3)联立两条直线方程得C点的横坐标为,
因为|AB|=t-(t-6)=6,
所以S=×6=
由(2)得:k2-k1=+
因为2≤t≤4,所以-9≤t2-6t≤-8,
所以-≤≤-,
所以≤k2-k1≤,
所以≤≤
所以Smax=24,此时t2-6t=-8,t=2或t=4.
综上:△ABC的面积S的最大值为24,此时t=2或t=4.
17.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-2)2=20与y轴交于O,P两点,圆C2过O,P两点且与直线l1:y=-x相切.
(1)求圆C2的方程;
(2)若直线l2:y=kx与圆C1,圆C2的交点分别为点M,N.求证:以线段MN为直径的圆恒过点P.
【解析】(1)由题意令x=0,代入圆C1中可得y1=0,y2=4,可得:O(0,0),P(0,4),
设圆C2的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心C2坐标,
将O,P点代入可得:
解得F=0,E=-4,
由题意可得OC2⊥l1,
所以=2,可得D=-2,
所以圆C2的方程为:x2+y2-2x-4y=0;
(2)由题意可得k≠-且k≠2,
联立与圆C1的方程:
整理得:(1+k2)x2+(8-4k)x=0,
可得M,
联立与圆C2的方程:,
整理得:(1+k2)x2-(2+4k)x=0,
可得N,
因为kPM==-,kPN==,
所以kPM·kPN=-1,
即PM⊥PN,
所以以线段MN为直径的圆恒过点P.
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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步练习题: 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步练习题,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。