高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置一课一练

直线和圆解答题专题

一、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

1. 已知点，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
   求M的轨迹方程；
   当时，求l的方程及的面积．
   
   
   
   
   
   
    
2. 已知直线l：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且三点，A，B，O构成三角形．

求k的取值范围；

设三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；

求S的最大值，并求取得最大值时k的值．



 

3. 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
   
   Ⅰ证明为定值，并写出点E的轨迹方程
   Ⅱ设点E的轨迹为曲线，直线l交于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
   
    

4. 已知点在动圆C上，圆C与y轴交于M，N两点，且．

求圆心C的轨迹T的方程；

已知点，过点的直线l与曲线T交于不同的两点A，B，当时，求直线l的方程．






 

5. 如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、垂足均不与O重合．
   
   
    

    求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，百米为半径的圆形E的区域内则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．






 

6. 如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足，宽度为圆O为江中的一个半径为的小岛，小镇A位于岸线上，且满足岸线，现计划建造一条自小镇A经小岛O至对岸的通道图中粗线部分折线段，B在A右侧，为保护小岛，BC段设计成与圆O相切设．
   试将通道ABC的长L表示成的函数，并指出定义域；
   求通道ABC的最短长．
   
   
   
   
   
   
    

直线和圆解答题专题

一、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

1. 已知点，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
   求M的轨迹方程；
   当时，求l的方程及的面积．

【答案】解：由圆C：，得，
圆C的圆心坐标为，半径为4．
设，则，．
由题意可得：．
即．
整理得：．
的轨迹方程是．
由知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而．
，
直线l的斜率为．
直线PM的方程为，即．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
．
．

【解析】由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；
设M的轨迹的圆心为N，由得到求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
 

2. 已知直线l：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且三点，A，B，O构成三角形．

求k的取值范围；

设三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；

求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

【答案】解： ，而且；

因为，所以，

所以，

所以，；

设，则，

所以，

所以当，即时，，S的最大值为2，

 的最大值为2，取得最大值时．

【解析】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变．

由圆心到直线的距离与半径的关系求解；

先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简；

换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．

3. 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
   
   Ⅰ证明为定值，并写出点E的轨迹方程
   Ⅱ设点E的轨迹为曲线，直线l交于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

【答案】解：Ⅰ证明：圆即为，
可得圆心，半径，
由，可得，
由，可得，
即为，即有，
则，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有，即，，，
则点E的轨迹方程为；
Ⅱ椭圆：，设直线l：，
由，设PQ：，
由可得，
设，，
可得，，
则
，
A到PQ的距离为，
，
则四边形MPNQ面积为
，
当时，S取得最小值12，又，可得，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是

【解析】Ⅰ求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
Ⅱ设直线l：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，由，设PQ：，求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．
本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
 

4. 已知点在动圆C上，圆C与y轴交于M，N两点，且．

求圆心C的轨迹T的方程；

已知点，过点的直线l与曲线T交于不同的两点A，B，当时，求直线l的方程．

【答案】解：设圆心，MN的中点为E，
由圆的性质可得，
故，即，
所以圆心C的轨迹T的方程为．
设直线l：，，
联立得，
则，
即，解得或，
故，．
因为点是抛物线的焦点，
所以．
解得或又，
所以，所以直线l的方程为．

【解析】本题考查抛物线的标准方程，动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，是基础题．
由圆的性质可得圆心的轨迹方程，化简即可；
设l 的方程代入抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，结合韦达定理，即可求出m的值，得到直线l的方程．
 

5. 如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、垂足均不与O重合．
   
   
    

    求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

    在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，百米为半径的圆形E的区域内则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．

【答案】解：连结OF，则，且．
设，则，
故FH，，
则
，
因为，
所以，
所以当，即时，，
答：新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米．
以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，
直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．
由，圆E的半径为，
因为圆O的方程为，圆E的方程为，
设直线CD的方程为，即，
设点 则，
由得，
代入得，解得，
又由，得，
故，即．
在中，令，解得，
所以．
答：点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间单位：百米内的任何一点处．

【解析】本题主要考查了三角函数模型的应用，考查了直线与圆的的应用，建立坐标系是解题的关键．
连结OF，于点F，然后表示出FH和FG的长度，得到的表达式，然后利用三角函数的恒等变换知识可求出的最大值；
以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出圆O和圆E的方程，设直线CD的方程为，根据点到直线的距离公式求出k，即可求出答案．
 

6. 如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足，宽度为圆O为江中的一个半径为的小岛，小镇A位于岸线上，且满足岸线，现计划建造一条自小镇A经小岛O至对岸的通道图中粗线部分折线段，B在A右侧，为保护小岛，BC段设计成与圆O相切设．
   试将通道ABC的长L表示成的函数，并指出定义域；
   求通道ABC的最短长．

【答案】解：过C点作与D点，
因为2的距离为7km.


 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，以及用导数法求最值．
由直线与圆相切，表示出在表示出AB，进而表示出L．
用导数的方法求最值．