人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优质第2课时学案设计

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学习目标
1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；
2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；
3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
重点难点
重点：利用直线与圆的方程解决简单的问题
难点：坐标法解决平面几何实际问题的初步应用
课前预习 自主梳理
知识点一：切线问题
1.过圆上一点的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程或.
2.过圆外一点的切线方程的求法
设切线方程为,由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条。一般不用联立方程组的方法求解.
3.求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
知识点二:求弦长的两种方法
(1)由半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理求解,这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程,消元得到关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐,一般不用.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)圆心到圆的切线的距离等于半径．( )
(2)圆的弦的垂直平分线过圆心．( )
(3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心．( )
(4)利用坐标法解决问题的好处是能将几何问题转化为代数问题解决．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【详解】(1)正确．由圆的切线的定义可知．
(2)正确．由垂径定理可知．
(3)正确．因为圆心同时在这两条弦的垂直平分线上，所以这两条弦的垂直平分线的交点就是圆心．
(4)正确．坐标法可以用坐标和方程表示相应的几何元素，将几何问题转化为代数问题．
2.直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】求出圆心、半径，再求出圆心到直线的距离，利用可得答案..
【详解】由配方得，
所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故选：C.
3.若圆与直线相切，则实数的值为（ ）
A．B．或3C．D．或
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.
【详解】若圆与直线相切，
则到直线的距离为，
所以，解得，或.
故选：D.
4.已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0，若直线l与圆C无公共点，则m的取值范围是（ ）
A．（1，8）B．（8，）C．（1，37）D．（8，+∞）
【答案】B
【分析】因为直线l与圆C无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，结合圆半径定义解不等式即可．
【详解】由得
所以圆心为，半径，且，则
因为直线l与圆C无公共点，所以
解得
故选：B
5.已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件得到圆的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到；再根据点在圆的外部得到，即可求解得到的取值范围.
【详解】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1 请同学们回顾上节内容，我们研究了直线和圆的几种位置关系，用了哪些方法进行研究，你印象最深刻的是什么？
师生活动：
（1）学生经过思考，作答.
（2）教师针对学生的不同答案作出适时评价，并重点强调代数法和几何法的一般过程，以及数形结合的妙用.
追问 你认为下来将研究什么内容.
设计意图：通过回顾上节内容，为本节的应用做准备，通过追问，引导学生提出值得研究的问题,接下来研究直线与圆的位置关系的应用.
环节二 观察分析，感知概念
思考
类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
问题2 ：例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱 QUOTE ?2?2 的高度（精确到）．
追问1 该问题展示的是一个实际问题，如何将它转化为一个数学问题？
师生活动：学生独立思考并作答需要将问题中的点，直线和圆用数学符号和语言表示出来，并表示它们之间的关系，需要先在图中建立平面直角坐标系。
环节三 抽象概括，形成概念
追问2 如何在该图形中建立直角坐标系？
分析：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱的高度，只需求出点的纵坐标．
点是圆拱所在圆的圆心吗？
师生活动：学生想一想，作一作，在小组交流的基础上展示：
解： 建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上． 由题意，点，的坐标分别为，．设圆心坐标是，圆的半径是，
那么圆的方程是
．
下面确定和的值．
因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程．
于是，得到方程组
．
解得
，．
所以，圆的方程是
．
把点的横坐标代入圆的方程，得
．
即（的纵坐标，平方根取正值）．所以
m．
答：支柱 QUOTE ?2?2 的高度约为3.86m．
环节四 辨析理解 深化概念
思考
如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点．
追问3如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？
追问4 圆的基本量是什么，如何利用基本量建立数学关系？
师生活动：
学生回顾在圆中圆心和半径是基本量，在本例中首先得到圆心位置和圆的半径，如图过点P2作垂足为，在中，建立等量关系解得，然后通过解三角形得到.
追问5 比较两种方法，你觉得坐标法有何优势？
设计意图：本环节由一个问题和5个追问构成，追问的过程也是解决问题的过程，是用坐标法解决平面几何问题的过程.最后对综合法和坐标法进行进行了比较，综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂，坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻.
环节五 概念应用，巩固内化
问题3：例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2. 5-5， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．
解：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
QUOTE ?2+?2=4 ．
轮船航线所在直线的方程为
，即．
联立直线与圆的方程，得
消去，得
．
由，可知方程组无解．
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
追问 你还能用其他的方法解决上述问题吗？
师生活动：学生回顾判定直线和圆的位置关系的方法，还可以通过比较圆的半径和圆心到直线的距离来判断直线的位置关系。
设计意图：通过以上问题的研究，加深学生对坐标法的理解，进一步体会坐标法解决平面几何问题的一般步骤，便于学生归纳。
问题4 通过以上两个实际问题的解答过程，你能将坐标法解决几何问题的步骤程序化吗？
师生活动：
（1）学生自主梳理；
（2）师生共同总结：坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、 直线、 圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．
比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
设计意图：通过对实际问题的解决过程分析，进一步体会坐标法是更一般更基本的方法，数形结合是根本思想，程序化的步骤充分体现了“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”的特征。
环节六 归纳总结,反思提升
问题5：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
解决直线与圆的实际应用题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教材95页练习第1，2题；
赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m.求这座圆拱桥的拱圆方程.
在一个平面上，机器人从与点C(5,-3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？
设计意图：课后巩固所学.
备用练习1.能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为( )
A．2B．C．3D．3
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.
【详解】
由圆的标准方程，
可得圆心为，半径为2，
根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，
圆上有两点到直线的距离为1，
由可得，
经验证，，符合题意，故选C.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.
2.直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于（ ）
A．B．1
C．或D．1或-1
【答案】C
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+1的距离d，再由弦AB的长及圆的半径，利用垂径定理及勾股定理求出方程的解即可得到k的值.
【详解】由圆 , 得到圆心 , 半径 ,
圆心到直线 的距离
,
, 即
,
, 解得: .
故选：C.
3.已知直线与圆交于不同的两点，，若是坐标原点，且，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，取的中点为，由题设可得到直线的距离为且，故可求的取值范围.
【详解】
如图，取的中点为，则且，
故即，
所以，故，所以，
因为，所以，
又直线和圆是相交的，故，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意根据题设给出的向量关系得到弦心距满足的条件，本题属于基础题.
4.若直线 与曲线 ． 仅有一个公共点， 则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围．
【详解】解：曲线即，
即，
表示为圆心，为半径的圆的上半部分，
直线恒过定点，
考查临界情况：
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，
当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，
即，解得：，舍去）．
据此可得，实数的取值范围是．
故选：D．