高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时练习

课后素养落实(二十)　直线与圆的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)

A．相离　　　　　　 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

C　[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，所以位置关系是相交但直线不过圆心，故选C．]

2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l相切于点P(1，)，则直线l的方程为(　　)

A．x－y＋2＝0 B．x－y＋4＝0

C．x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0

A　[由12＋()2－4×1＝0知点P在圆上，圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，圆心与点P连线的斜率k＝＝－，则切线l的斜率k1＝，所以切线l的方程为y－＝(x－1)即x－y＋2＝0，故选A．]

3．(多选题)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　)

A．4x－3y＝14 B．4x－3y＝－6

C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6

AB　[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，

直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线的距离为半径2，即＝2，∴m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知A、B正确，故选AB．]

4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°

C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°

D　[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.

因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0,0)到直线l的距离≤1，

即k2－k≤0，

解得0≤k≤，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤60°.]

5．直线y＝kx＋3被圆x2＋y2－6y＝0所截得的弦长是(　　)

A．6　　　　B．3  C．2　　　　D．8

A　[∵圆的方程为x2＋y2－6y＝0即x2＋(y－3)2＝9，

∴圆心为(0,3)，半径为3，而直线y＝kx＋3过定点(0,3)，过圆心，故直线y＝kx＋3被圆x2＋y2－6y＝0所截得的弦长即为直径6.]

二、填空题

6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．

2　[由题意可知，直线l的方程为y＝x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)，半径r＝2.圆心(0,2)到直线x－y＝0的距离d＝＝1，所以弦长l＝2＝2.]

7．已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________，此时切线长为________．

x＝2或3x－4y＋10＝0　4　[由22＋42＝20>4，得点P在圆外，

当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，

则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，

∴＝2，解得k＝.

故所求切线方程为3x－4y＋10＝0.

当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．

此时切线长为P点的纵坐标4.

故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2.]

8．若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m＝________.

－4　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，

∴圆心(1，－2)，

设圆心到直线的距离为d，则d＝＝0，因此弦长6就是直径2r，∴r＝3.

∴r 2＝5－m＝9⇒m＝－4.]

三、解答题

9．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.

(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；

(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．

[解]　(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，所以点A在圆上，

所以12＋a2＝4，所以a＝±.

当a＝时，A(1，)，此时切线方程为x＋y－4＝0；

当a＝－时，A(1，－)，此时切线方程为x－y－4＝0.

(2)设直线方程为x＋y＝b，因为直线过点A(1，a)，所以1＋a＝b，即a＝b－1.①

又圆心到直线的距离d＝，

所以＋＝4，②

由①②得或

所以a＝－1或a＝－－1.

10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

[解]　(1)由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A(0,1)的直线方程：y＝kx＋1，即：kx－y＋1＝0.

由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3)，半径R＝1.

故由＝1，解得：

k1＝，k2＝.

故当<k<，过点A(0,1)的直线与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为y＝kx＋1，

代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)

＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，

由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，

解得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．所以|MN|＝2.

1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是(　　)

A．相交 B．相离

C．相切 D．不能确定

C　[方程x2＋y2＋ax＋by＝0可化为＋＝(a2＋b2)，

则圆心C，半径r＝，

所以圆心C到直线l的距离d＝＝＝r，

由此直线l和圆相切，故选C．]

2．一束光线从点A(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．或 B．或

C．或 D．或

C　[圆的方程可化为(x－3)2＋(y－2)2＝1.

易知A(－2,3)关于x轴对称的点为A′(－2，－3)．

如图所示，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，其方程为y＋3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k－3＝0，

依题意得，圆心到反射光线所在直线的距离d＝＝1，化简得12k2－25k＋12＝0，

解得k＝或k＝.故选C．]

3．若直线l：x＋y－m＝0被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦长为2，则圆心C到直线l的距离是________，m＝________.

1　－1或3　[圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝4，

则圆心C(1,0)，半径r＝2，

设圆心C到直线l的距离为d，则

d2＋()2＝r2⇒d＝1(负值舍去)．

∴＝1⇒|m－1|＝2⇒m＝－1或m＝3.]

4．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]

已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．

(1)求四边形PACB面积的最小值；

(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

[解]　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.

圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.

因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，

所以当|PC|2最小时，|AP|最小．

因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9.所以当x＝－时，|PC|＝9.

所以|AP|min＝＝2.

即四边形PACB面积的最小值为2.

(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．