人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念一课一练

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4.1数列的概念与简单表示法（2）

一、单选题

1．数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（    ）

A．  B．  C．   D．

【答案】B

【解析】将代入四个选项，可得只有B满足，

故选B

2．数列{8n－1}的最小项等于（    ）

A．－1       B．7    C．8       D．不存在

【答案】B

【解析】∵an=8n－1为单调增数列，

∴其最小项为a1＝8×1－1＝7.

故选B

3．已知数列，,…，…，则是这个数列的（    ）

A．第10项   B．第11项   C．第12项   D．第21项

【答案】B

【解析】令，解得n=11，故是这个数列的第11项．

故选B．

4．已知数列的通项，那么满足的项有（    ）

A．5项    B．3项    C．2项    D．1项

【答案】C

【解析】因为，，

所以，解得：，

因为，所以，

故选C.

5．已知函数，数列满足，且，那么等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由已知得，

，，

，

故选A

6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】，

当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且.

故选A.

7．已知数列{an}，满足，若，则a2009=（    ）

A．    B．2    C．    D．1

【答案】B

【解析】由已知，数列{an}，满足，若，则，

数列各项的值轮流重复出现，每三项一次循环，
所以
故选B.

8．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（    ）

A．=n2−n+1  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】从图中可观察星星的构成规律，当时，有1个；当时，有3个；当时，有6个；时，有10个，， 归纳推出．

故选C

9．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（    ）

A．递增数列   B．递减数列   C．常数列   D．摆动数列

【答案】A

【解析】因为，因为函数单调递增，

所以数列是递增数列．

故选A．

10．在数列中，，，则（    ）

A．   B． C．   D．

【答案】A

【解析】在数列中，，

故选A.

11．在正实数数列中，，且，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】因为，且，所以，

因此当时，，

所以，

所以，可知与同号，

而，因此，即，

所以数列为单调递减数列．

因为，所以由可得，即，

解得，又，所以．

故选D．

12．已知数列，满足，（），则使成立的最小正整数n为（    ）

A．10    B．11    C．12    D．13

【答案】C

【解析】由题意，因为，即，所以，

则，，，，

所以，即，

因为，即，又，所以，

故选C

二、填空题

13．已知数列中，，则的值是______.

【答案】

【解析】由得，

又，所以，，，

，

因此.

故填.

14．已知数列满足：，则_________.

【答案】0

【解析】因为，

所以，

因为，且，

所以，即，

故填0

15．数列满足，则的最大值为_____.

【答案】26

【解析】当且时，由通项公式可知，数列递增，此时最大值为；

当且时，由通项公式可知，数列递减，最大值为．

综上可知，当时，最大值为．

故填26．

16．在数列中，已知，则______.

【答案】

【解析】令，则，

所以，

所以，

当时，上式也成立，

所以.

故填.

17．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 015＝________.

【答案】

【解析】由an＋1＝，

得a2＝＝－，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝0，

所以数列{an}的循环周期为3.

故a2 015＝a3×671＋2＝a2＝.

故填

18．已知数列满足，且（），则的最大值是______.

【答案】

【解析】根据题意得：，

所以，

所以数列的奇数项和偶数项都是递减数列，

又因为，所以，，

的最大值是.

故填

三、解答题

19．已知函数.

（1）求证：对任意.

（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？

【解析】（1），

（2）∵，

当变大时，变大，变小，变大，

∴是递增数列

20．已知无穷数列

（1）求这个数列的第10项.

（2）是这个数列的第几项？

（3）这个数列有多少个整数项？

（4）是否有等于序号的的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由.

【解析】（1）将代入，得第10项为，即；

（2）设，解得，是第100项；

（3）设，变形得，可取的值有2，3，4，7，即有4个整数项；

（4）设，解得（舍）或，此时，所有等于序号的的项，且为.

21．已知数列的通项公式为，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.

【解析】∵.

∴当时，，即；当时，，即；当时，，即，故a1＜a2＜…＜a8 = a9＞a10＞a11＞…， 

∴数列中最大项为或，其值为，其项数为8或9.

22．已知有穷数列：1，12，123，1234，…，123456789，在每一项的数字后添写后一项的序号便是后一项。

（1）写出数列的递推公式.

（2）求.

（3）用上面的数列，通过公式，构造一个新数列，写出数列的前4项.

（4）写出数列的递推公式.

（5）求数列的通项公式.

【解析】（1）前4项可改写为，观察可得递推公式为；

（2）观察可得；

（3）

故数列的前4项分别为：；

（4）前4项可改写为，观察可得递推公式为；

（5），，