数学4.3 等比数列达标测试

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4.3.1  等比数列（2）

一、单选题

1．已知数列中，，，则等于（　　）

A．18    B．54    C．36    D．72

【答案】B

【解析】数列中，，，

数列是等比数列，公比．

则．

故选B．

2．和的等比中项是（　　）

A．1    B．    C．    D．2

【答案】C

【解析】设等比中项为a，则，，

故选C．

3．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（　　）

A．1    B．    C．   D．

【答案】D

【解析】由韦达定理可知，，则，，从而，

且，

故选D

4．已知数列为等比数列，且，则（　　）

A．   B．    C．   D．

【答案】A

【解析】由题意得，所以．又，

所以或（由于与同号，故舍去）．所以，

因此．

故选A

5．数列中，，，则（　　）

A．32    B．62    C．63    D．64

【答案】C

【解析】数列中，，故，

因为，故，故，

所以，所以为等比数列，公比为，首项为.

所以即，故，

故选C.

6．在等比数列中，，，则（　　）

A．3    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，

又，所以.

故选A

7．对于按复利计算机利息的储蓄，若本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本金和利息总和y（元）与存期n的函数表达式为（　　）

A．  B． C． D．

【答案】A

【解析】1期后的本息和为；2期后的本息和为；3期后的本息和为；…期后的本息和为.

故选A

8．已知等比数列{}中，+=，﹣=，则=

A．﹣    B．    C．﹣4    D．4

【答案】A

【解析】∵等比数列{an}中，a1+a2=，a1﹣a3=，

∴ ，

解得，

∴a4==1×（﹣）3=﹣．

故选A．

9．等差数列和等比数列的首项均为1，公差与公比均为3，则++=（　　）

A．64    B．32    C．33    D．38

【答案】C

【解析】依题意，故，

故选C.

10．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）

A．    B．    C．   D．

【答案】D

【解析】在等差数列中，由，得，，

，

在等比数列中，由，得，，，

则.

故选D.

11．等比数列的公比为，则与的大小关系是（    ）

A．      B．

C．      D．不能确定

【答案】A

【解析】由等比数列的通项公式可得，，，

，，，即.

故选.

12．已知数列满足，令，则满足的最小值为（    ）

A．9    B．10    C．11    D．12

【答案】B

【解析】，，故是首项为0.9，公比为的等比数列，故，则，即，当时，；当时，，显然当时，成立，故的最小值为10.

故选B．

二、填空题

13．设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．

【答案】，

【解析】设等比数列的公比为，

因为，，

所以，解得，所以，

因此，，.

故填，

14．等比数列的各项为正数，且，则_____.

【答案】10

【解析】∵等比数列的各项均为正数，且，

∴，

∴

故填10

15．各项为正数的等比数列中，与的等比中项为，则_____．

【答案】

【解析】根据题意，等比数列中，与的等比中项为，则有

又由等比数列的性质可得：

则

故填．

16．已知数列满足且，则数列的通项公式为__________．

【答案】

【解析】因为，所以，即，

即数列为首项3，公比为3的等比数列，

则=，

所以．

故填.

17．已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是___________.

【答案】

【解析】数列中，令，得，又，

所以是首项和公比均为2的等比数列，

则.

故填

18．各项均为正偶数的数列中，前三项依次成公差为的等差数列，后三项依次成公比为的等比数列.若,则的所有可能的值构成的集合为________.

【答案】

【解析】因为前三项依次成公差为的等差数列，，所以这四项可以设为，其中为正偶数，后三项依次成公比为的等比数列，所以有，整理得，得，

，为正偶数，所以

当时，；当时，，不符合题意，舍去；当时，，故的所有可能的值构成的集合为.

故填

三、解答题

19．数列满足,

（1）写出数列的前项；

（2）由（1）写出数列的一个通项公式；

【解析】（1）由已知可得，，，，.

（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，

所以它的一个通项公式为.

20．已知数列满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

【解析】（1），

，

因此，数列是等比数列；

（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.

21．已知数列满足，且，求：

（1）数列的前3项；

（2）数列的通项公式.

【解析】（1）,且

，

（2）由题可令：

又， 

故数列是以2为公比的等比数列，且首项-5

22．已知等比数列的首项为1，公比为2，数列满足，，．

（1）证明为等差数列；求数列的通项公式；

（2）求数列的最大项．

【解析】（1）根据等比数列的通项公式，得，，.

因为

所以，且，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

当时，

，

又，满足上式，因此．

（2）设，

所以，

所以，故的最大值为．