人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列复习练习题

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4.2.2 等差数列的前n项和（1）

一、单选题

1．记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（    ）

A．2    B．3    C．6    D．7

【答案】B

【解析】,

故选B

2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于（    ）

A．7    B．8    C．9    D．17

【答案】A

【解析】，

故选A.

3．在等差数列中，若d=2，=55，则为（    ）

A．5或7   B．3或5-1   C．7    D．5

【答案】C

【解析】，，解得，

故选.

4．已知等差数列的前n项和为，若，，则=（    ）

A．16    B．12    C．8    D．6

【答案】D

【解析】∵S10=90=（a1+a10）×=（a5+a6）×，a5=8，

∴a6=10

∴a4=2a5﹣a6=6

故选D．

5．“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（    ）

A．10 min   B．13 min   C．15 min   D．20 min

【答案】C

【解析】根据题意分析可以知道，这是一个首项为，公差为的等差数列，即，解得，

故选C.

6．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（    ）

A．12    B．16    C．9    D．16或9

【答案】C

【解析】依题意可知，凸多边形的内角成等差数列，

故内角和为，解得或.

由于内角小于，所以，所以，

故选.

7．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行（    ）

A．11 700 m   B．14 600 m   C．14 500 m   D．14 000 m

【答案】D

【解析】由于总的任务量是固定的，每次最多运根，所以有根是单独的，必须第一趟运送.每次来回行走的米数构成一个等差数列，记为，则，，，所以，

故选D.

8．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（    ）

A．30    B．31    C．32    D．33

【答案】C

【解析】中间项为.因为，，所以.

故选C.

9．已知是等差数列，公差，设，则在数列中（    ）

A．任一项均不为零      B．必有一项为零

C．至多一项为零       D．没有一项为零或无穷多项为零

【答案】C

【解析】因为已知是等差数列，公差，设，

所以，

因为，令即解得或，

当，即时存在一项为零，当时，不存在为零的项，

故选C

10．在等差数列中，，，则等于（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】由于数列是等差数列，所以由，，

得，解得.

故选C.

11．设是等差数列的前n项和，已知，那么n等于（    ）

A．16    B．17    C．18    D．19

【答案】C

【解析】因为是等差数列的前n项和，，

所以，即，所以，

又，所以.

故选C

12．把正整数下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数.设表示第n组中所有数的和，那么等于（    ）

A．1113    B．4641    C．5082    D．53 361

【答案】B

【解析】因为第组有个数，

所以前20组一共有（个）数，

所以第21组的第一个数为211，这一组共有21个数，

所以，

故选B.

二、填空题

13．在数列中，若，，则它的前项和______.

【答案】，

【解析】，

所以数列为首项,公差为的等差数列.

故填,.

14．在等差数列中，已知，，则______.

【答案】3840

【解析】依题意得，解得，故，

故，所以原式.

故填3840

15．在等差数列中，，记，则等于______.

【答案】156

【解析】依题意，

∵， 即，∴，

∴.

故填156.

16．已知数列的通项公式，，则______.

【答案】50

【解析】由，得，

∴数列的前5项为正数，从第6项起为负数，

又由，得，，

∴数列是首项为9，公差为－2的等差数列.

则

.

故填50.

17．等差数列的前n项和为.若，则__________.

【答案】

【解析】由题意，设等差数列的公差为，因为，

所以，解得，

所以.

故填-110

18．等差数列中，，，，则______.

【答案】28

【解析】因为数列为等差数列，则 ，

又，所以

又，所以，

所以，

故填28.

三、解答题

19．已知等差数列中，，，，求与的值.

【解析】由于数列是等差数列，

故，解得，.

20．（1）等差数列前项和为，求证：；

（2）等差数列、的前项和分别为和，若，求的表达式.

【解析】（1）等差数列前项和为,设首项为公差为,

;

,

成立.

（2），

由（1）得，

，

.

21．设，d为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足。

（1）若，求及；

（2）求d的取值范围.

【解析】（1）由题意知，，

所以解得。

综上，，。

（2）因为，

所以，即，

所以，所以.

故的取值范围为或.

22．设等差数列的前n项和为，已知，．

（1）求公差d的取值范围并说明理由；

（2）指出中哪一个值最大，并说明理由．

【解析】（1）依题意，可得

，故，解得.

（2）因为，它是关于n的二次函数表达式，

设顶点的横坐标为，如图所示：由，可得，

则最靠近顶点横坐标的自然数值为6，因此当时，最大．