高中数学第六章 平面向量及其应用本章综合与测试同步练习题

第六章  知识总结及测试

一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共 40分）

1．（2020·全国高一课时练习）在矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】，

所以

.故选：C.

2．（2020·全国高一课时练习）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为A，C，D选项中的两个向量均存在实数使得，所以两向量均共线，故不可作为基底．因为B选项中的两个向量不存在实数使得，所以两向量不共线，所以可以作为一组基底．故B正确．

3．（2020·天津河东区·高一期中）已知，，，则（    ）

A．，，三点共线 B．，，三点共线

C．，，三点共线 D．，，三点共线

【答案】A

【解析】，，

，

，

与共线，

、、三点共线．

故选：．

4．（2020·全国高一课时练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（    ）

A． B．

C． D．12

【答案】C

【解析】在中，因为，

由正弦定理可得：，

设，，，且，

∴，解得，

即，，，且，

∴

.

故选：C.

5．（2020·全国高一课时练习）如果向量，，那么 (    )

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【解析】由已知，所以，故选：B．

6．（2020·全国高一课时练习）设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则（    ）

A．2 B．-2 C．6 D．-6

【答案】D

【解析】因为，故，故，因为，是两个不共线的平面向量，故，解得.故选：D

7．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）在中，下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；

对于选项B：因为，故，故选项B错误；

对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；

对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；

故选：D

8．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知为的一个内角，向量.若，则角()

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

即 ,选C.

二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）

9．（2020·江苏镇江市·高一期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】∵，

整理可得：，

可得，

∵A为三角形内角，，

∴，故A正确，B错误，

∵，

∴，

∵，且，

∴，

解得，

由余弦定理得，

解得，故C错误，D正确.

故选：AD.

10．（2020·全国高一单元测试）已知两点，与平行，且方向相反的向量可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】，

A选项， ，故满足题意

D选项，，故满足题意

B、C选项中的不与平行

故选：AD

11．（2020·全国高一课时练习）已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（    ）

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4

D．mn的最大值为2

【答案】CD

【解析】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；

对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；

故选：CD.

12．（2020·全国高一）对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形

B．若A＞B，则sin A＞sin B

C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个

D．若三角形ABC为斜三角形，则

【答案】ABD

【解析】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；

对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；

对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；

对于D，因为，

所以

因为，

所以，

所以，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题（每题5分，4题共20分）

13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________

【答案】

【解析】设外接圆的圆心为，半径为，

可得

，

M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，

且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，

则，

的最大值为，最小值为，

故的取值范围是.

故答案为：.

14．（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一期中）已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.

【答案】

【解析】∵∴.

又∵与共线，∴，∴，∴，

∴在方向上的投影为.

15．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为________.

【答案】

【解析】因为，所以，

而，当且仅当时等号成立，所以

故答案为：.

16．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．

【答案】米

【解析】由，易得

，，

设，

则，

，

，

．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2020·深圳市）已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．

（1）若∥，，求x的值；

（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．

【答案】（1）或（2）的最大值为，此时

【解析】（1）∵，，，

∴，∴，∴cosx＝0或，

即cosx＝0或tanx，

∵，∴或；

（2）

∵，∴，∴，∴，

故f（x）的最大值为，此时．

18．（2020·全国高一课时练习）的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求角A；

（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】（1）因为，

所以，得，

所以，因为，所以.

（2）分三种情况求解：

选择①，因为，

由正弦定理得，

即的周长

，

因为，所以，

即周长的取值范围是.

选择②,因为，

由正弦定理得

即的周长

，

因为，所以，所以，

即周长的取值范围是.

选择③.

因为，得，

由余弦定理得，

即的周长，

因为，当且仅当时等号成立，

所以.

即周长的取值范围是.

19．（2020·全国高一课时练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知.

（1）若的面积为，求的值；

（2）设，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，则，

的面积为，.

因此，；

（2），，且，所以，，即，.

，.

，

，

因此，.

20．（2020·全国高一课时练习）在中，内角的对边分别为，设平面向量，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求中边上的高.

【答案】(1);(2).

【解析】（1）因为，

所以，即，

即，

根据正弦定理得，所以，

所以 ； 

（2）由余弦定理，又，所以，

根据△的面积，即， 解得，

所以中边上的高．

21．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，，，，，.

（1）求的长；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，，

，，，.

；

（2），，

，

.

22．（2020·全国高一单元测试）已知 是平面内两个不共线的非零向量，=，且A，E，C三点共线．

（1）求实数λ的值；

（2）若，求的坐标；

（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

【答案】（1）；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．

【解析】（1）.

因为A，E，C三点共线，

所以存在实数k，使得=k，

即，得.

因为是平面内两个不共线的非零向量，

所以解得.

（2）．

（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，

所以.

设A(x，y)，则，

因为，所以解得

即点A的坐标为(10，7)．