人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体同步训练题

9.2   用样本估计总体（精练）

【题组一 总体取值规律的估计】

1．（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则的值是（    ）

A．500 B．1000 C．10000 D．25000

【答案】B

【解析】由图可得在中的频率为，所以，故选：B.

2．（2021·北京昌平区·高一期末）某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为，，，，.已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，对应的频率分别为：

设样本容量为

因为净重小于94克的个数为36，所以，解得

则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为

故选：D

3．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图.则图中a的值为（    ）

A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300

【答案】A

【解析】由得.故选：A

4．（2020·广东云浮市·高一期末）在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（    ）．

A．9 B．10 C．18 D．20

【答案】A

【解析】由题意，频数＝样本容量×频率．故选：A

5．（2021·湖南长沙市）“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；

（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由．

【答案】(1)；(2)万；(3)吨.

【解析】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为

即频率分布直方图各小矩形面积之和为

解得：

（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为

全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）

（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：

即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于吨

故

假设月均用水量平均分布，则（吨）

6．（2020·天津河西区·）随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中、、和的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.

【答案】（1），， ，；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）由题意知，， ，；

（2）样本频率分布直方图为：

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间的概率，

设所取的人中，日加工零件数落在区间的人数为，则，

，

所以人中，至少有人的日加工零件数落在区间的概率约为.

【题组二 总体百分数的估计】

1．（2020·全国高一课时练习）一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________．

【答案】25    39   

【解析】把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数，

14×25%＝3.5， 14×75%＝10.5， 所以第25，75百分位数分别是第4，11项数据，即是25，39．

故答案为：25，39．

2．（2021·安徽宿州市·高一期末）若一组数据为82，81，79，78，95，88，92，84，则该组数据的75%分位数是___________.

【答案】90

【解析】由题可得一共有8个数据，则该组数据的75%分位数在第6位和第7位之间，为.

故答案为：90.

3．（2020·山东东营市·广饶一中高一期末）数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的25%分位数、80%分位数分别是_______；

【答案】3；8.5

【解析】将数据10，9，8，7，6，5，4，3，2，1从小到大排序得：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

当时，，分位数为3.

当时，，分位数为.故答案为：3；8.5.

4．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）树人中学高一1班23名男生身高的样本数据（单位：）按从小到大排序，排序结果如下：

164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，

172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.

由数据估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为________.

【答案】172

【解析】由，将样本数据从小到大排列，第12个数字为172，

所以可估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为172.故答案为：172.

5．（2020·山东泰安市·高一期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：

152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.

【答案】172

【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，

本题第90百分位数是173，所以，故答案为:172

6．（2020·临高县临高中学高一期末）下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：

1.5     3.2     5.2     5.6      5.6      7.1      8.7      9.2      10.0     11.2

13.2   13.7    13.8     14.5     15.2     15.7     16.5     18.8     19.2     23.9

27     27     28.9     28.9     33.1     33.8     34.8     40.6     41.6     50.1

这组数据的第70百分位数是_______________.

【答案】27.

【解析】按从小到大排列此30个数据，指数，

则第70百分位数是，故答案为：27.

7．（2020·全国高一课时练习）某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位：分钟)如下65，65，66，74，73，81，80，则它们的第三四分位数是________ .

【答案】80

【解析】从小到大排序为65，65，66，73，74，80，81，第三四分位数即75%分位数，7×75%＝5.25，

所以第三四分位数是第6项数据80.故答案为：80

8．（2020·江苏高一期中）已知一组数据，且这组数据的平均数为，则的值为__________.

【答案】

【解析】由题意，解得故答案为：

【题组三 总体集中趋势的估计】

1．（2020·全国高一课时练习）名工人某天生产同一零件，生产的件数是、、、、、、、、、.设其平均数为，中位数为，众数为，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将生产的件数由小到大排列为：、、、、、、、、、，

，中位数为，

众数为.因此，.故选：B.

2．（2021·安徽宿州市·高一期末）2020年宿州市某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为（    ）

A．72分 B．73分 C．74分 D．75分

【答案】C

【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为.故选：C.

3．（2021·北京房山区·高一期末）根据气象学上的标准，连续天的日平均气温低于即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：个数据的中位数为，众数为；

②乙地：个数据的平均数为，极差为；

③丙地：个数据的平均数为，中位数为；

④丁地：个数据的平均数为，方差小于．

则肯定进入冬季的地区是（    ）

A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地

【答案】D

【解析】①甲地：个数据的中位数为，众数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以甲地不一定入冬，故A错；

②乙地：个数据的平均数为，极差为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以乙地不一定入冬，故B错；

③丙地：个数据的平均数为，中位数为；则这个数据可能为，，，，；即连续天的日平均气温不是都低于，所以丙地不一定入冬，故C错；

④丁地：个数据的平均数为，方差小于．如有数据大于等于，则方差必大于等于，不满足题意，因此丁地这续天的日平均气温都低于，所以丁地一定入冬，故D正确；

故选：D.

4．（2020·全国高一）某组数据的茎叶图如图所示，其众数为，中位数为，平均数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图中数据可得，

所以故选：A

5．（2020·全国高一）已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由频率分布直方图可知，众数为；

由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65；

平均数为．故选：B．

6．（2020·广东汕头市·金山中学高一月考）甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是(　　)

A．③④ B．①②④

C．②④ D．①③④

【答案】A

【解析】由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；

计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．

7．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）从某食品厂生产的面包中抽取个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定？”

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）画图.

（2）质量指标值的样本平均数为

.

所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为.

（3）质量指标值不低于的面包所占比例的估计值为

，

由于该估计值大于，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于的面包至少要占全部面包的规定.”

8．（2020·安徽蚌埠市·蚌埠二中高一月考）某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58；

女：77，55，69，58，76，70，77，90，51，53，63，64，69，83，83，65，100，75.

（1）分别计算男、女学生得分的平均数；

（2）分别计算男、女学生得分的四分位数.

【答案】（1）男生平均数为61.05，女生平均数为71；（2）男生得分的四分位数： 50， 58， 71.5；女生得分的四分位数： 63， 69.5， 77.

【解析】（1）男学生的平均数为

，

女学生得分的平均数

.

（2）男、女学生得分从小到大排列为

男：35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58 ，63，66，70，73，75，85，  90，94；

女：51，53，55，58，63，64，65，69，69，70，75，76，77，77，83，83， 90， 100；

男、女学生得分的四分位数如下表

9．（2021·安徽宿州市·高一期末）某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.

（1）求出表中及图中的值；

（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.

【答案】（1）；（2）中位数是，平均数是68.5.

【解析】（1）由频率统计表可知：，

由频率分布直方图可知：，解得

（2）∵前两组的频率和为，前三组的频率和为

∴中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为.

平均数为

∴估计该校学生阅读素养的成绩中位数是，平均数是68.5.

10．（2020·全国高一单元测试）某班的全体学生共有人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，. 依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为分.

（1）求表中，的值；

（2）请估计该班本次数学测试的平均分.

【答案】（1），；（2）分.

【解析】（1）由中位数为70可得，

，

解得.

又，

解得.

（2）由频率分布直方图可知，每组的频率依次为：，，，，则该班本次数学测试的平均分的估计值为:分.

10．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.

【解析】（1）由，解得.

（2）这组数据的平均数为.

中位数设为，则，解得.

（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，

记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，

从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，

所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，

所以 .

【题组四 总体离散程度的估计】

1．（2020·甘肃白银市·高一期末）已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（    ）

A．数据的中位数为

B．数据的众数为

C．数据的平均数为

D．数据的方差为

【答案】D

【解析】若数据的中位数为，众数为，平均数为,则由性质知数据的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故正确；

则由方差的性质知数据的方差为4p,故D错误；

故选D．

2．（2020·四川省绵阳南山中学高一开学考试）数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入数据，则对这个数据，下列说法正确的是（    ）

A．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大

B．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差变大

C．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差可能不变

D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

【答案】A

【解析】因为数据，，…，分别是某学校教职工个人的年收入，

所以世界首富的收入会远远大于，，…， ，故这个数据的平均数会大大增加；

而中位数为数据中间的数或中间两个数的平均数，所以中位数有可能不变；

因为世界首富的收入远远大于，，…，，所以数据的集中程度受的影响很大，数据离散程度加大，所以方差变大.

故选：A

3（2020·定边县第四中学高一期末）是，，…，的平均值，为，，…的平均值，为，，…的平均值，则下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为为，，…的平均值，为，，…的平均值,

所以，，

则有.

故选：A.

4．（多选）（2021·山东德州市·高一期末）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．西部的平均数为13.3

B．东部的极差小于西部的极差

C．东部的30%分位数是11.6

D．东部的众数比西部的众数小

【答案】ACD

【解析】对于A：即西部的平均数为13.3，故A正确；

对于B：东部的最大值为，最小值为，极差为；西部的最大值为，最小值为，极差为；故B错误；

对于C：东部共13个数据，,即从小到大的第4个数为东部的30%分位数，所以东部的30%分位数是11.6，故C正确；

对于D：东部的众数为，西部的众数为和均大于，故D正确；

故选：ACD

5．（多选）（2020·全国高一单元测试）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（    ）

A．平均数

B．标准差

C．平均数且极差小于或等于

D．众数等于且极差小于或等于

【答案】CD

【解析】对于A选项，若平均数，不能保证每天新增病例数不超过人，不符合题意；

对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，显然不符合题意；

对于C选项，若极差等于或，在的条件下，显然符合指标；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；

对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.

故选：CD.

6．（多选）（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（    ）

A．平均数为67 B．平均数为66 C．方差为296 D．方差为287

【答案】BD

【解析】依题意，甲的平均数，乙的平均数，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，

所以甲队队员在所有队员中所占比重为，乙队队员在所有队员中所占比重为

故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：；

甲、乙两队全部队员的体重的方差为：.

故选：BD.

7．（多选）（2020·江苏无锡市·高一期末）已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（    ）

A．，，，，的平均数为3

B．，，，，的方差为3

C．，，，，的方差为4

D．，，，，的方差为8

【答案】AD

【解析】对选项，将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变，

故其平均数是，方差是；故正确；错误；

对，将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为，故错误；

对，将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的倍，即为，故正确.

故选：.

8.（2020·全国高一课时练习）某城区举行“奥运知识”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示.

（1）请把上边的表格填写完整.

（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好些?

【答案】（1）填表见解析；（2）高二年级的团体成绩更好些.

【解析】（1）高一年级的成绩为80，87，89，80，88，99，80，77，91，86；

高二年级的成绩为85，97，85，87，85，88，77，87，78，88.

由此可知高一年级成绩的众数是80，平均数=85+(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7；

高二年级成绩的众数是85，极差是20.

（2）因为两个年级的得分的平均数相同，高二年级成绩的方差小，说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小，所以高二年级的团体成绩更好些.

9．（2020·胶州市教育局高一期末）某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：

（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）

（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）

（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）

【答案】（1）中位数为；平均数为；（2）平均数为；标准差为；（3）元.

【解析】（1）因为

所以中位数为满足

由，解得

设平均分为，

则

（2）由题意，剩余个分数的平均值为

因为个分数的标准差

所以

所以剩余个分数的标准差为

（3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为：

因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；

将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为

因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；

将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为：

又因为

因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；

所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元.

11．（2020·河南开封市·高一期末）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.（每组数据以区间的中点值为代表）.

【答案】（1）第四组的频率为；作图见解析；（2）；194.

【解析】因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为

.

补全的频率分布直方图如图所示.

(2)前三组的频率之和为：

前四组的频率之和为：

设中位数为，则应有

又，即样本的中位数为

抽取学生的平均数约为所以，样本的方差为：

.