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    高中数学6.4 平面向量的应用学案及答案

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    这是一份高中数学6.4 平面向量的应用学案及答案,共10页。


    1.平面的概念
    几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
    思考1:一个平面能否把空间分成两部分?
    [提示] 因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分.
    2.平面的画法
    (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.
    (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
    ① ②
    3.平面的表示法
    上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
    4.平面的基本性质
    思考2:经过空间任意三点能确定一个平面吗?
    [提示] 不一定,只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.
    5.推论
    推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.
    推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
    推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
    1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是( )
    A.A∈l,l∉α B.A∈l,l⊄α
    C.A⊂l,l⊄α D.A⊂l,l∉α
    [答案] B
    2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
    A.平面MN
    B.平面NQP
    C.平面α
    D.平面MNPQ
    A [表示平面不能用一条线段的两个端点表示,但可以表示为平面MP,选A.]
    3.任意三点可确定平面的个数是( )
    A.0 B.1 C.2 D.1或无数个
    D [当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.]
    【例1】 用符号表示下列语句,并画出图形.
    (1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;
    (2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
    [解] (1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
    (2)用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.
    三种语言的转换方法:
    (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
    (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
    (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
    1.用符号语言表示下列语句,并画出图形:
    (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
    (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
    [解] (1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.
    (2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:如图②.
    【例2】 如图,已知:a ⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.
    [证明] ∵PQ∥a,∴PQ 与 a 确定一个平面β.
    ∴直线a⊂β,点 P∈β.
    ∵P∈b,b⊂α,∴P∈α.
    又∵a⊂α,∴α与β重合.∴PQ⊂α.
    解决点线共面问题的基本方法:
    2.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
    [解] 已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.
    求证:直线AB,BC,AC共面.
    证明:法一:因为AC∩AB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.
    因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.
    因此直线AB,BC,AC都在平面α内,
    所以直线AB,BC,AC共面.
    法二:因为A不在直线BC上,
    所以点A和直线BC可确定一个平面α.
    因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.
    法三:因为A,B,C三点不在同一条直线上,
    所以A,B,C三点可以确定一个平面α.
    因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,
    同理BC⊂α,AC⊂α,
    故直线AB,BC,AC共面.
    [探究问题]
    1.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内?
    [提示] 如图,连接BD1,
    ∵A1C∩平面ABC1D1=E,
    ∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
    ∵A1C⊂平面A1BCD1,
    ∴E∈平面A1BCD1.
    2.上述问题中,你能证明B,E,D1三点共线吗?
    [提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1,又E∈BD1,根据基本事实3可知B,E,D1三点共线.
    【例3】 如图,已知平面α, β, 且α∩β=l. 设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.
    求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
    [思路探究] eq \x(梯形的两腰)→eq \x(找交点)→
    eq \x(探求交点与面α,β的位置关系)→eq \x(得结论)
    [证明] 因为梯形ABCD中,AD∥BC,
    所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
    所以AB,CD必定相交于一点.
    设AB∩CD=M.
    又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.
    所以M∈α∩β.
    又因为α∩β=l,所以M∈l.
    即AB,CD,l共点(相交于一点).
    本例变为:如图所示,在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点,如果EF、GH交于一点P,求证:点P在直线BD上.
    [证明] 若EF、GH交于一点P,
    则E,F,G,H四点共面,
    又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
    平面ABD∩平面CBD=BD,
    所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
    由基本事实3可得P∈BD.
    1.证明三点共线的方法
    (1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
    (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
    2.证明三线共点的步骤
    (1)首先说明两条直线共面且交于一点;
    (2)说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交;
    (3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.
    1.立体几何的三种语言
    图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言,要准确实现这三种语言的相互转换.
    2.三个基本事实的作用:
    基本事实1——判定点共面、线共面的依据;
    基本事实2——判定直线在平面内的依据;
    基本事实3——判定点共线、线共点的依据.
    3.证明几点共线的方法:首先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线,再证明其他点也在这条直线上.
    1.判断正误
    (1)平面是处处平的面.( )
    (2)平面是无限延展的.( )
    (3)平面的形状是平行四边形.( )
    (4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.( )
    [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
    2.下列空间图形画法错误的是( )
    A B C D
    D [遮挡部分应画成虚线.故D错,选D.]
    3.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为( )
    A.A⊂a,a⊂α,B∈α
    B.A∈a,a⊂α,B∈α
    C.A⊂a,a∈α,B⊂α
    D.A∈a,a∈α,B∈α
    B [点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α.]
    4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,求证:点P在直线DE上.
    [证明] 因为P∈AB,AB⊂平面ABC,
    所以P∈平面ABC.
    又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,
    所以P∈直线DE.
    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(难点)
    2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)
    3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(难点、易错点)
    1.通过对平面有关概念的学习,培养直观想象的数学素养.
    2.通过平面基本性质的应用,培养逻辑推理、直观想象的数学素养.
    基本事实
    内容
    图形
    符号
    基本事实1
    过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
    A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α
    基本事实2
    如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
    A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α
    事实3
    如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
    P∈α,P∈β⇒α∩β=l且P∈l
    立体几何三种语言的相互转化
    点线共面问题
    点共线、线共点问题
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