人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课后练习题

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指数与对数的运算
【例1】 计算：(1)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5lg53；
(2)1.5－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up5(\f(2,3))).
[解] (1)原式＝lg3eq \f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up5(\f(1,3))＋2eq \s\up5(\f(3,4))×2eq \s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
1．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A．6B．3
C．2 D．1
D [由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.]
指数函数、对数函数的图象及应用
【例2】 (1)若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，lga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝lg3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，lga1＝0.
2．函数y＝1＋lgeq \f(1,2)(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
C [把y＝lgeq \f(1,2)x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋lgeq \f(1,2)(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
比较大小
【例3】 若0A．3y<3x
B．lgx3C．lg4xD.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))xC [因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝lgax的影响：当0lgy3，B错误．
对于C，函数y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，故lg4x对于D，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))y，D错误．]
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
3．设a＝lg2π，b＝lgeq \f(1,2)π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
C [∵a＝lg2π>lg22＝1，b＝lgeq \f(1,2)πc>b，故选C.]
指数函数、对数函数的性质
【例4】 (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且lga3>lga2，若函数f(x)＝lgax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(lgax)2－lgaeq \r(x)＋2的值域．
(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
(2)[解] ①因为lga3>lga2，所以f(x)＝lgax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以lga(3a)－lgaa＝1，即lga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(lg3x)2－lg3eq \r(x)＋2＝(lg3x)2－eq \f(1,2)lg3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3x－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16).
令t＝lg3x，因为1≤x≤3，
所以0≤lg3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2)))，
所以所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2))).
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))”，判断其奇偶性．
[解] ∵f(x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋eq \r(1＋x2))，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))＋ln(－x＋eq \r(1＋x2))＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(5,4)，t∈[3,27]，
∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝lgax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
函数的应用
【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解] (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.
4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] 设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20).
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，
考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．