初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.6 直角三角形优秀同步练习题

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知识提要
1． 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2． 直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
练习
选择题
1.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ D ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( D )

A. 3.5 B. 4.2C. 5.8 D. 7
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为( C )
A. 20 B. 12 C. 14 D. 13
4. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中共有直角三角形（ C ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个D． 无法确定
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，有下列结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝eq \f(1,2)S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中，始终正确的是( B )

A. ①②③ B. ①②④C. ②③④ D. ①③④
【解】B 提示：证明△PCF≌△PAE(或△APF≌△BPE)，可得结论①②④正确
6．(黄冈中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD＝3，则BC 的长为( C )

A. 6 B. 6eq \r(,3) C. 9 D. 3eq \r(,3)
【解】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°.∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，即BD＝2CD.
∴BC＝BD＋CD＝3CD.∵CD＝3，∴BC＝9.
下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（ B ）
①在△ABC中，已知∠A－∠B＝90°，②在△ABC中，已知∠A－∠B＝∠C，③在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，④在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5.
A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个
8.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ D ）

A. 0.5kmB. 0.6 kmC. 0.9km D. 1.2km
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，则AD等于（ B ）

A． 4BDB． 3BD C． 2BDD． BD
如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是( B )
A. 7＋eq \r(5) B. 10 C. 4＋2eq \r(,5) D. 12
【解】B∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE垂直平分BC.∵BC＝8，∴BE＝4.
∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝DE＝eq \f(1,2)AB＝3.
∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10
如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（A ）

A．∠B＝30° B．AD＝BD C．∠ACB＝90° D．△ABC是直角三角形
【答案】A解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD＝BD，故B选项正确；
又∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∴∠ACB＝180°×＝90°，故C选项正确；
∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；
12.（2019春•英德市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（ D ）

A．6B．9C．10D．12
【答案】D解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC，
∵点E为AC的中点，∴DE＝EC＝AB＝7.5，
∵△CDE的周长为21，∴CD＝21﹣7.5﹣7.5＝6，∴BC＝2CD＝12
13.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ C ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
【答案】C解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．
二、填空题
1．如图，在数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__3__个．
2．若等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．
【解】①如解图①.∵BD⊥AC，AB＝AC，BD＝eq \f(1,2)AB，∴∠A＝30°.
,(①) ,(②)
②如解图②.∵BD⊥CD，CD＝eq \f(1,2)AC，∴∠DAC＝30°，∴∠BAC＝180°－30°＝150°.
3.直角三角形中两锐角平分线相交所成的角的度数是 45°或135° ．
【答案】45°或135°解：如图，∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，∴∠AOB＝135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°，
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则eq \f(FG,AF)＝__eq \f(1,2)__．

【解】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60°.
∵AD＝BE，∴CE＝BD.
在△ACE和△CBD中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝CB，,∠ACE＝∠B，,CE＝BD，))∴△ACE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE＝∠BCD，
∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°.
∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°，∴eq \f(FG,AF)＝eq \f(1,2).
如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，
∠2＝70°，∠1＝ 20° ．

【答案】20°解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
如图，已知AO＝10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），
∠AON＝60°．
（1）OP＝ 5或20 时，△AOP为直角三角形．
（2）设OP＝x，则x满足 0＜x＜5或x＞20 时，△AOP为钝角三角形．
【答案】解：（1）当∠APO＝90°时，∠OAP＝90°﹣∠AOP＝30°，∴OP＝OA＝5，
当∠OAP＝90°时，∠OPA＝90°﹣∠AOP＝30°，∴OP＝2OA＝20，
故答案为：5或20；
当0＜x＜5或x＞20时，△AOP为钝角三角形，
故答案为：0＜x＜5或x＞20
三、解答题
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连结DE，M是AB的中点，N是DE的中点．求证：MN是DE的中垂线．
【解】 连结ME，MD.∵AD⊥BC，
∴△ADB是直角三角形．
又∵M是斜边AB的中点，
∴MD＝eq \f(1,2)AB.同理，ME＝eq \f(1,2)AB，∴MD＝ME.
又∵N是DE的中点，∴MN⊥DE，DN＝NE，
∴MN是DE的中垂线．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF.求证：AB垂直平分DF.

【解】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，
∴∠CDE＋∠DCE＝90°，
∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF.
∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，
∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°，∴∠CBF＝∠ACD＝90°.
在△ACD和△CBF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACD＝∠CBF，,AC＝CB，,∠CAD＝∠BCF，))∴△ACD≌△CBF(ASA)，
∴CD＝BF，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF.
又∵∠CBF＝90°，∴△DBF为等腰直角三角形．
∵BF∥AC，∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°，
∴AB是等腰直角三角形DBF的顶角平分线，
∴AB垂直平分DF.
已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG
（1）求证：CD＝AE；
（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．
【答案】（1）证明：∵DG⊥CE，CG＝EG，∴DE＝DC，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
又AE＝BE，∴DE＝AE，∴AE＝CD；
（2）解：∵AE＝CD＝2，AB＝2DE，
∴AB＝4，∵AD＝BD，AE＝BE，∴DE⊥AB，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝4．
4．如图①，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.
(1)将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图②中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)．
(2)在图①中，你发现线段AC，BD的数量关系是AC＝BD，直线AC，BD相交成直角(填“锐”“钝”或“直”)．
(3)①将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图③，这时(2)中的两个结论是否仍成立？作出判断并说明理由．
②若将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

【解】 (1)作图如图中虚线部分．
(2)易得∠COD＝∠AOB＝90°，OC＝OD，OA＝OB，
∴OC－OA＝OD－OB，即AC＝BD.
①仍成立．理由如下：
∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COA＋∠AOD＝∠AOD＋∠DOB，即∠COA＝∠DOB.
又∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC＝BD.
延长CA交OD于点E，交BD于点F.
∵△COA≌△DOB，∴∠ACO＝∠BDO.
又∵∠CEO＝∠DEF，∴∠EFD＝∠COE＝90°，∴AC⊥BD.
②旋转更大的角时，结论仍然成立．