高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题

5.3.2  函数的极值与导数

重点练

一、单选题

1．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（    ）．

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若函数的极小值点是，则的极大值为（    ）

A． B． C． D．

3．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数()，则下列结论错误的是（    ）．

A．函数一定存在极大值和极小值

B．若函数在、上是增函数，则

C．函数的图像是中心对称图形

D．函数的图像在点()处的切线与的图像必有两个不同的公共点

二、填空题

5．中，角、、所对的边分别为、、，若函数有极值点，则角的范围是________.

6．函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则的取值范围是______________．

三、解答题

7．设函数．

（1）设，求的极值点；

（2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1．【答案】A

【解析】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，

但有极值则在极值处一定等于.

所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.

故选A

2．【答案】C

【解析】由题意，函数，可得，

所以，解得，故，

可得，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以的极大值为．

故选C.

3．【答案】D

【解析】因为有两个不同的极值点，

所以在有2个不同的零点，

所以在有2个不同的零点，

所以，

解可得，．

故选．

4．【答案】D

【解析】A选项，的恒成立，故必有两个不等实根，不妨设为、，且，令，得或，令，得，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，

所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A选项正确；

B选项，令，则，，易知，

∴，B选项正确；

C选项，易知两极值点的中点坐标为，又，

∴，

∴函数的图像关于点成中心对称，C选项正确；

D选项，令得，在处切线方程为，

且有唯一实数解，即在处切线与图像有唯一公共点，D选项错误.

故选D．

5．【答案】

【解析】因为函数，

所以导函数，

因为函数有极值点，

所以，即，

则，

因为，所以角的范围是，

故填.

6．【答案】

【解析】函数的定义域为，.

令，，可得，列表如下：

所以，函数在处取得极小值，

由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，

则，由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故填.

7．【答案】（1）是函数的极大值点，无极小值点；（2）．

【解析】（1），，

，

显然，当时，，当时，，

函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

故是函数的极大值点；

（2）对于可化为，

令，

，

在上单调递减，

在上恒成立，即，

又在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，

，即实数m的取值范围为．