高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义课后复习题

5.1.3  导数的几何意义

重点练

一、单选题

1．设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为（    ）

A．2    B．-1    C．1    D．-2

2．函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y＝2x+1，则（　　）

A．﹣4    B．﹣2    C．2    D．4

3．偶函数 f（x）在（﹣∞，+∞）内可导，且1，

，则曲线y=f(x)在点（﹣5，f（﹣5））处切线的斜率为（　　）

A．2    B．    C．﹣2    D．

4．①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；

②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；

③若不存在，则曲线在点处就没有切线；

④若曲线在点处有切线，则必存在.

则以上论断正确的个数是（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

二、填空题

5．函数的图象在点处的切线方程为,为的导函数，则_____________

6．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是_____．

三、解答题

7．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：

（1）平行于直线；

（2）垂直于直线；

（3）倾斜角为．

参考答案

1．【答案】B

【解析】由

根据导数的定义可得:.

在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率

故选B

2．【答案】C

【解析】函数y＝f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y＝2x+1，

可得切线的斜率为k＝f′（x0）＝2，

由导数的定义可得，f′（x0）2．

故选C．

3．【答案】A

【解析】∵，

∴

∴

∴f′（1）＝﹣2

由可得f（x+4）＝f（x）

对f（x+4）＝f（x）两边求导得：

即f′（x+4）＝f′（x）①，

由f（x）为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），

故f′（﹣x）（﹣x）′＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f′（x）②，

即f′（x+4）＝﹣f′（﹣x），

所以f′（﹣5）＝f′（﹣1）＝﹣f′（1）＝2，

即所求切线的斜率为2．

故选A．

4．【答案】B

【解析】对于①中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；

对于②中，根据导数的定义：

（1）导数：，

（2）左导数：，

（3）右导数：，

函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；

对于③中，切线与导数的关系：

（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为

（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；

对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.

故选B.

5．【答案】4

【解析】当,,故.

故填4

6．【答案】①③④

【解析】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.

故填①③④

7．【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】设点P的坐标为，则

，

∴当趋于0时，．

（1）∵切线与直线平行，∴，即，

∴，，即．

（2）∵切线与直线垂直，

∴，即，

∴，，即．

（3）∵切线的倾斜角为，

∴，即，

∴即，即．