2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用随堂练习题

5.3.3 函数的最大（小）值与导数

重点练

一、单选题

1．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

2．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（    ）

A．     B．

C．      D．

3．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

4．已知函数，，若，，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

5．已知，，若对，，使得，则实数a的取值范围为_________.

6．已知函数，则函数的最大值为__________．

三、解答题

7．已知函数，其中.

（1）当时，求函数在上的最值；

（2）（i）讨论函数的单调性；

（ii）若函数有两个零点，求的取值范围.

参考答案

1．【答案】A

【解析】令，

则，令

若时，

若时，

所以可知函数在递减，在递增

所以

由对任意的实数恒成立

所以

故选A

2．【答案】C

【解析】因为，

且函数在区间上存在最大值，

故只需满足，

所以，，

解得．

故选C．

3．【答案】A

【解析】由得或，

可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.

令，得或，令，得或，

由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，

结合函数的图象可得：，解得，

故的取值范围是.

故选A

4．【答案】C

【解析】，①，

，②，

由①②得，

在单调递增，，则，

，

令，则，

令，解得，令，解得，

故在单调递减，在单调递增，

.

故选C.

5．【答案】

【解析】因为在为增函数，且，，

所以，.

因为，

所以，，为增函数.

，，故，.

因为对，，使得，

所以，解得.

故填

6．【答案】

【解析】，

，

令，，，

令，则，

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在，上单调递增，

函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，

当，即，时，

，

函数的最大值为．

故填．

7．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）（i）见详解；（ii）.

【解析】（1）由得，所以，

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以；又，，

所以；

即在上的最大值为，最小值为；

（2）（i），

当时，恒成立；即在定义域上单调递增；

当时，若，则；若，则，

所以在上单调递减；在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；

（ii）由（i）知，当时，在定义域上单调递增；不可能有两个零点；

当时，；

为使有两个零点，必有，即；

又，

令，，则在上恒成立，

即在上单调递增，

所以，即，

所以根据零点存在性定理可得，存在，使得；

又，

根据零点存在性定理可得，存在，使得，

综上，当时，函数有两个零点.