选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

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5.3.3  函数的最大（小）值与导数

一、单选题

1．函数在上的最小值为（    ）

A．-2    B．0    C．    D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以函数在区间上的最小值为，

故选D．

2．函数，的最大值是（    ）

A．   B．    C．    D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，

故选A．

3．已知函数，函数在上的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】因为函数，则，

显然在上，故函数单调递增，

故

故选D

4．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（    ）

A．0    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】因为不等式对于一切恒成立，

所以对一切恒成立，

所以，

又因为在上单调递减，所以，

所以，所以的最小值为，

故选C.

5．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】由题意得，设，.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数,且.

所以有最大值，简图如下，

由图可知，时符合题意.

故选C.

6．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．不确定

【答案】C

【解析】由题意，，

因为函数有最小值，且，

所以函数存在单调递减区间，即有解，

所以有两个不等实根，

所以函数的零点个数为2.

故选C.

7．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（    ）

A．  B．   C．    D．

【答案】A

【解析】

设，则

当时，，单调递减

当时，，单调递增

存在，成立

，

，

故选

8．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（    ）

A．1    B．    C．    D．－

【答案】A

【解析】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时, ,

则时，，

所以当时，;又函数为偶函数,

所以当时，

则,

可知当，故在[-2，0)上单调递增, 时，在[0,2]上单调递减,故.

故选A

9．已知存在正实数，满足，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．，   C．，   D．，

【答案】C

【解析】已知存在正实数，满足，

则有解，

令，则，

，，

则，

又易得为增函数，

又，

当时，，当时，，

所以在为减函数，在为增函数，

所以，

即的值域为，

即，

即实数的取值范围是，

故选C．

10．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（    ）

A．3    B．4    C．    D．

【答案】A

【解析】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得

，令，得.

由时，，单调递减；

当时，，单调递增.

从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为.

故选A

（方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为.

故选A

11．已如函数，若，且，则的取值范围是（　　）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】根据题意，画出分段函数图象如下：

 由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．

否则不满足

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

，．

构造函数，．

则．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴．

∴在上是单调递增函数．

∴．

∴．

∴．

故选C．

12．已知对于任意的，总有成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由题得，

设，

由得，

当时，，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，

所以

所以，

所以，

设，

所以，所以函数在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增，

所以.

所以此时的最小值为.

当时，函数f(x)单调递增，不符合题意.

故选A

二、填空题

13．已知函数，则的最大值为____________．

【答案】

【解析】

则函数在上单调递增，在上单调递减

即

故填

14．已知函数，当（e为自然常数），函数的最小值为3，则的值为_____________.

【答案】

【解析】，，

当时，则，在上是减函数，

，（舍去）．

当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意．

故填．

15．已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为_________.

【答案】43.

【解析】，

,

令，解得或，

当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以在时有极小值，也是上的最小值，

即，

函数在上的最大值在或时取得，

，

函数在上的最大值为43.

故填43

16．函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相应区间上的单调性，求出函数的最值，得到关于的不等式，从而求出的范围.

详解：，依题意，

时，成立，

已知，则，

所以在上单调递减，而在上单调递增，

所以，，

所以有，得，故的取值范围是.

故填

17．已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】当时，，

令，则或；，则，

函数在上单调递减，在单调递增，

函数在处取得极大值为，

在出的极小值为.

当时，，综上所述，的取值范围为

故填

18．设直线与函数，的图象分别交于点，则当达到最小值时，的值为________．

【答案】1

【解析】设，

则，

当时，，当时，，

即函数在为减函数，在为增函数，

即，

即当达到最小值时，的值为1，

故填.

三、解答题

19．已知函数有极小值.

（1）求实数b的值；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.

【解析】（1），由得：或，则：

时：，f（x）递增；

时：，f（x）递减；

时：，f（x）递增；

函数f（x）在取得极小值，即，

解得所求；

（2）由以上可知函数f（x）在取得极大值

又，

故所求最小值为，最大值为.

20．已知函数

（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）若的最大值为2，求实数的值.

【解析】（1）若在上是减函数，

则在恒成立，

，

∴，设，

则，

∵，∴递增，

又，故.

（2）由，要使，

故的递减区间是，递增区间是，

∴，即，

∴.

21．已知函数，是的导函数，.

（1）当时，判断函数在上是否存在零点，并说明理由；

（2）若在上存在最小值，求的取值范围.

【解析】（1）时，.

令，即，，得，

当变化时，，变化如下：

∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

∴的极小值为.∴函数在上不存在零点.

（2）因为，所以，

令，则.

①当时，，即，

∴在单调递增，

∴时，，

∴在单调递增，∴在不存在最小值，

②当时，，

所以，即在内有唯一解，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，又因为，

所以在内有唯一零点，

当时，即，

当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增.

所以函数在处取得最小值，

即时，函数在上存在最小值.

综上所述，在上存在最小值时，的取值范围为.

22．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】（1）依题意，，，，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

（2）令，则．

令，则，

当时，，，所以，函数在上是增函数．

所以，所以．

①当时，，所以函数在上是增函数，

所以，即对任意不等式恒成立．

②当时，，由，得．．

当时，，即，函数在上是减函数，所以，即，不合题意．

综上，所以实数a的取值范围是．