人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第一课时测试题

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1．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0，排除B、D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.eq \f(4,27)，0 B．0，eq \f(4,27)
C．－eq \f(4,27)，0 D．0，－eq \f(4,27)
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq \f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq \f(1,3)时f(x)取极大值eq \f(4,27)，当x＝1时f(x)取极小值0.
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1 B．a＞－1
C．a＜－eq \f(1,e) D．a＞－eq \f(1,e)
解析：选A ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
6．函数y＝eq \f(ln x,x)的极大值为__________．
解析：函数y＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)，
y′＝eq \f(1－ln x,x2).令y′＝0，即eq \f(1－ln x,x2)＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
由表可知，当x＝e时，函数有极大值eq \f(1,e).
答案：eq \f(1,e)
7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
8．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；f(x)在x＝ln 2处取得极小值．极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝eq \f(1,2)，b＝0，c＝－eq \f(3,2).
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(1,2)x3－eq \f(3,2)x，
∴f′(x)＝eq \f(3,2)x2－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
[B级 综合运用]
11.(多选)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中正确的是( )
A．当x＝eq \f(3,2)时，函数f(x)取得极小值
B．f(x)有两个极值点
C．当x＝2时函数取得极小值
D．当x＝1时函数取得极大值
解析：选BCD 由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两极值点，∴B正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故C、D正确．故选B、C、D.
12．已知函数f(x)＝ex(sin x－cs x)，x∈(0,2 021π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A.eq \f(e2π1－e2 021π,e2π－1) B.eq \f(eπ1－e2 020π,1－e2π)
C.eq \f(eπ1－e1 010π,1－e2π) D.eq \f(eπ1－e1 010π,1－eπ)
解析：选B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π13．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
14．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,2))).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝eq \f(ax－a,ex)(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝eq \f(－x＋1,ex)，f′(x)＝eq \f(x－2,ex).
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－eq \f(1,e2)，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝eq \f(aex－ax－aex,e2x)＝eq \f(－ax－2,ex).
①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝eq \f(a,e2)＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
当x>2时，F(x)＝eq \f(ax－1,ex)＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝eq \f(ax－1,ex)＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，
得x≤1－eq \f(e2,a)，
即x≤1－eq \f(e2,a)时，
F(x)<0，所以F(x)总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
y′
＋
0
－
y
单调递增
极大值eq \f(1,e)
单调递减
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
2(1－ln 2＋a)
单调递增
x
(－∞，2)
2
(2, ＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
单调递减
极小值
单调递增
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
单调递增
极大值
单调递减