数学选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时精练

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1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )
A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列
解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.
2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
解析：选B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
解析：选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
解析：选C 根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 D．eq \f(67,66)升
C.eq \f(47,44)升 D．eq \f(37,33)升
解析：选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq \f(67,66)，
故第5节的容积为eq \f(67,66)升．
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d2＋a2＋a＋d2＝59.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,d＝－4.))
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.
答案：－21
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案：1或2
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析：由题设可得eq \f(an,n)－eq \f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式eq \f(an,n)＝n，所以an＝n2.
答案：n2
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：由等差数列的性质得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．
解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当10当n>18时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．
[B级 综合运用]
11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是递增数列
D．数列{an＋3nd}是递增数列
解析：选AD an＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，A正确；
nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关．
故数列{nan}不一定递增，B不正确；
对于C：eq \f(an,n)＝eq \f(a1,n)＋eq \f(n－1,n)d，
∴eq \f(an,n)－eq \f(an－1,n－1)＝eq \f(－a1＋d,nn－1)，
当d－a1＞0，即d＞a1时，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))递增，
但d＞a1不一定成立，C不正确；
对于D：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．
12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq \f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 D．eq \f(3,4)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(3,8)
解析：选C 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝eq \f(1,4)，∴d＝eq \f(1,2)，
∴a2＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，a3＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4)，
a4＝eq \f(1,4)＋eq \f(3,2)＝eq \f(7,4)，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)×\f(7,4)－\f(3,4)×\f(5,4)))＝eq \f(1,2).
13．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝________，若ak＝13，则k＝________.
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝eq \f(17,3).
∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，
∴a7＋a9＝eq \f(38,3)，d＝eq \f(2,3).∴ak－a9＝(k－9)d，
即13－7＝(k－9)×eq \f(2,3)，解得k＝18.
答案：eq \f(38,3) 18
14．数列{an}为等差数列，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))an，又已知b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \f(1,8)，求数列{an}的通项公式．
解：∵b1＋b2＋b3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a1＋a2＋a3＝eq \f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－d＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋d＝eq \f(21,8)，
得2d＋2－d＝eq \f(17,4)，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
[C级 拓展探究]
15．下表是一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．
解：通过每行、每列都是等差数列求解．
(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．
先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，
公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.
再看第2行，同理可得a25＝27.
最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，
所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.
(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；
第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；
…
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2 020，
∴j＝eq \f(2 020－i,2i＋1).又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.
∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．
4
7
( )
( )
( )
…
a1j
…
7
12
( )
( )
( )
…
a2j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a3j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…