高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列导学案

5.3.1 等比数列   导学案

1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.

2.掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念.

3.掌握等比数列的性质,并能利用它解决有关等比数列的问题.

4.了解等比数列与指数函数的关系.

重点：等比数列定义及其性质

难点：等比数列的函数特征及综合运用

 1.等比数列的定义

    一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．

符号语言：        

2.等比数列的通项公式

一般地,若等比数列{an}的首项为a1,公比为,则通项公式为：.

点睛： 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,即a1, ,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.

3.等比数列的性质

一般地，如果{an}是等比数列， 而且正整数+t=p+q，则asat=apaq.

特别地，如果2=p+q，则2as=apaq.

一、    问题探究

问题1. 观察下列情景中的数列，回答后面的问题.

       如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列，

1，2，4，8，16，32，…   ①
《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列

，…②

（1）数列①②③在数学中都称为等比数列，它们有什么共同点?你能给等比数列

      下一个定义吗？
（2）你能总结出数列①②③的通项公式并得出一般等比数列的通项公式吗？

      我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03, 1000× ，…,1000×.③

探究1.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

探究2.在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关?

探究3.如果G为与的等比中项，那么G能用与表示出来吗

探究4.设数列{an}的通项公式为，求出 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？

二、典例解析

例1.判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由.

（1）1,10,100,1000,10000；

（2）0,1,2,4,8；

（3）1， .

例2.已知等比数列{an} 的首项为a1 =27，公比

（1）求a8 ；

（2） 判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.

对等比数列的几点说明

(1)等比数列的每一项均不为0.

(2)从“第2项起”是因为首项没有“前一项”.

(3)公比q是每一项与它前一项的比,求公比q时不要将相邻两项比的顺序颠倒.

(4)在等比数列{an}中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得另一个量.

(5)数列{an}是等比数列的充要条件是an=kqn,其中k,q是不为0的常数.

跟踪训练1. 在等比数列{an}中,

(1)a4=2,a7=8,求an;

(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.

例3.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由.

例4.已知等比数列{an}的公比为求证:对于任意的正整数有

例5.已知等比数列{an}中，, 求.
 

例6.已知数列{an}中，，在时恒成立，求证： {an}是等比数列.

例7.在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。

1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.

1.给出下列命题:①若,则-a,b,-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac,则a,b,c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数),则{an}是等比数列.其中正确的命题有(　　)

A.0个           B.1个               C.2个              D.3个

2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(　　)

A.-24    B.0     C.12         D.24

3.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项的和为Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=(　　)

A.56     B.72      C.88       D.40

4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

5.在等比数列{an}中,a3a9=1,a1a5+a8a10=8,则a3+a9等于　　　　　. 

6.已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3.

(1)求证:{an+3}是等比数列.

(2)求数列{an}的通项公式.

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、    问题探究

问题1. 不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数.具体地，

数列① 从第2项起每一项与它前一项之比都等于2；

数列 ②从第2项起每一项与它前一项之比都等于；

数列 ②从第2项起每一项与它前一项之比都等于1.03.

探究1.设一个等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义，

可得,即

所以

 =

==,……

由此可归纳出等比数列的通项公式为

另外，注意到由等比数列定义可得

,

,………

,

,

将这个式子两边分别相乘，则有

因此同样可得等比数列的通项公式为

探究2.因为,

所以如果记

则可以看出，而且;

（1）当公比q时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公比为1的等比数列是常数列）；
（2）公比q时，是，此时，的增减性即与也与依有关.

探究3.根据等比中项与等比数列的定义可知，因此=

探究4.因为，

一般地，如果{an}是等比数列，

而且正整数+t=p+q，则asat=apaq.

特别地，如果2=p+q，则2as=apaq.

二、    典例解析

例1.解：（1）因为=10，所以是等比数列，且公比为10.

（2）因为没有意义，因此不是等比数列.

（3）因为=，所以是等比数列，且公比为.

例2.解：（1）由等比数列的通项公式可知

为=

（2）设18是数列中的第 项，则=18，化简得=2因为这个方程无正整数解，所以所以18不是数列中的项.

跟踪训练1. 解:(1)(方法一)因为

所以

由,得q3=4,从而q=,而a1q3=2,

于是a1=,所以an=a1qn-1=.

(方法二)因为a7=a4q3,所以q3=4.

所以an=a4qn-4=2·()n-4=.

(2)(方法一)因为

由,得q=,从而a1=32.

又an=1,所以32=1,即26-n=20,所以n=6.

(方法二)因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.

由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.

例3.事实上,可以证明数列{an}是等比数列的充要条件是其中都是不为0的常数.

解：因为

所以数列{an}是等比数列,且公比为2.

例4. 解:设等比数列的首项为,则

两式相除，整理可得

即

例5.解:设等比数列的首项为,则

解得 ,3，因此

例6.证明：根据题意有

，

因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列.

例7.解：（方法一）依题意，,

由等比数列的通项公式，得解得

当时，插入的3个数分别为

当时，插入的3个数分别为

因此插入的3个数分别为或

（方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，，

又因为所以

即，

类似地，有

而且与同号，因此；

当 =2时， =；

当 = 2时， = ；

因此插入的3个数分别为或

跟踪训练2.解法1：设这四个数依次为,

于是得解方程组，得

所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：设这四个数依次为,

于是得解方程组，得

所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

达标检测

1. 解析:①显然正确;②中当abc=0时不成立;③中当q=0时不成立.故选B.

答案:B

2.解析:由题意得,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项分别为-3,-6,-12,故第四项为-24.

答案:A

3.解析:由已知,得=a1a9,a1=2,故(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=2或d=0(舍),故an=2+(n-1)×2=2n,S8==4(2+2×8)=72.

答案:B

4.解析:∵an+1=3Sn,①

∴an=3Sn-1(n≥2).②

①-②,得an+1-an=3an,即=4(n≥2).

又a2=3,a1=1,∴=3,

∴an=3×4n-2(n≥2).

当n=1时,3×41-2=≠1,

∴an=

答案:an=

5.解析:因为a1a5+a8a10==8,所以(a3+a9)2=8+2=10,

所以a3+a9=±.

答案:±

6.(1)证明:由an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3),

∴ =2.

∴{an+3}是以a1+3=5为首项,以2为公比的等比数列.

(2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3.