2020年苏科版九年级数学上册专题训练圆中辅助线的添设（含答案）

圆中辅助线的添设►　类型之一　作垂线图4－ZT－11．如图4－ZT－1，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC＝12，OA＝8，则BD的长为(　　)A．20  B．19  C．18  D．162．如图4－ZT－2，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上任意一点，则OP长的取值范围是__________．图4－ZT－2　　　图4－ZT－3  3．如图4－ZT－3所示，在⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，且∠BPD＝30°，则CD＝________ cm.4．如图4－ZT－4，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．图4－ZT－4           5．如图4－ZT－5，MN是⊙O的直径，A是的中点，⊙O的弦AB交直径MN于点C，且∠ACO＝2∠CAO.(1)求∠CAO的度数；(2)若⊙O的半径为，求AB的长．图4－ZT－5         ►　类型之二　连半径6．如图4－ZT－6，PA和PB是⊙O的切线，A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是(　　)A．60°  B．65°  C．70°  D．75°图4－ZT－6　　图4－ZT－7  7．如图4－ZT－7，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E，B，C，F都在以D为圆心的同一圆弧上，且∠ADE＝∠CDF，则的长度为________(结果保留π)．图4－ZT－88．如图4－ZT－8，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．9．如图4－ZT－9，AB过圆心O，且AD＝OB，∠B＝45°.求∠A的度数．图4－ZT－9          10．已知：如图4－ZT－10，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．图4－ZT－10        ►　类型之三　构造弦图4－ZT－1111．如图4－ZT－11，AB是半圆的直径，D是的中点，∠ABC＝48°，则∠DAB的度数为________． 12．如图4－ZT－12，已知⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于点E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于点M，连接MC，MD.求证：∠AMD＝∠FMC.图4－ZT－12   13．如图4－ZT－13①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC.(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，请说明理由．图4－ZT－13   
详解详析1．A　[解析] 如图，过点O作OE⊥BC于点E，由垂径定理，得BD＝2BE.∵△ABC是等边三角形，BC＝12，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝12，则∠COE＝30°.∵OA＝8，∴OC＝12－8＝4，∴CE＝OC＝2，∴BE＝12－2＝10，则BD＝2BE＝20.故选A.2． 3≤OP≤5　[解析] 如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，则AC＝CB＝AB＝4.在Rt△AOC中，由勾股定理，得OC＝＝＝3.因为OP的长不小于OC的长而不大于OA的长，故OP长的取值范围是3≤OP≤5.3．8 　[解析] 如图，过点O作OE⊥CD于点E.∵AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，∴OA＝6 cm，PA＝2 cm，PB＝10 cm，∴OP＝4 cm.在Rt△POE中，OE＝OP＝2 cm.连接OC，则CE＝＝4  cm，∴CD＝2CE＝8  cm.4．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF.∵DB＝10 cm，∴OD＝5 cm，∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm)．∵∠PAC＝30°，∴OG＝AO＝4 cm，即圆心O到AP的距离为4 cm.∵OG⊥EF，∴EG＝GF.∵GF＝＝＝3(cm)，∴EF＝2GF＝6 cm.5．解：(1)∵MN是⊙O的直径，A是的中点，∴∠AOM＝×180°＝90°，∴∠ACO＋∠CAO＝90°.∵∠ACO＝2∠CAO，∴3∠CAO＝90°，∴∠CAO＝30°.(2)如图，过点O作OD⊥AB于点D.∵点O是圆心，∴AD＝AB.在Rt△AOD中，∵OA＝，∠CAO＝30°，∴OD＝OA＝，由勾股定理，得AD＝，∴AB＝2AD＝3.6．C7．　[解析] 连接BD.∵在菱形ABCD中，DC＝BC，又∵BD＝DC，∴BD＝DC＝BC，即△DBC是等边三角形．∴∠BDC＝60°，∴∠ADC＝120°.∵∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝120°，∴的长度为＝.8.　[解析] 连接AO.∵MN＝10，∴AO＝OM＝MN＝5.设AB＝x，则AB＝BC＝DC＝x，而∠DOC＝45°，∠DCO＝90°，∴CO＝DC＝x.在Rt△ABO中，由AB2＋BO2＝AO2，得x2＋4x2＝25，∴x＝(负值已舍去)，即AB＝.9．解：如图，连接DO，CO，则AD＝DO＝CO＝BO.设∠A＝x，则∠DOA＝∠A＝x，∠BCO＝∠B＝45°，∠ODC＝∠OCD，而∠ODC＝∠A＋∠DOA＝2x，∴∠ACB＝2x＋45°.在△ABC中，∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，即x＋(2x＋45°)＋45°＝180°，∴x＝30°，即∠A＝30°.10．解：(1)连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，且AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴AB＝10 cm.∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝5  cm.(2)连接OD.由AB＝10 cm可知⊙O的半径为5 cm.∵AD＝BD，OA＝OB，∴OD⊥AB，即∠BOD＝90°，∴S阴影＝S扇形ODB－S△ODB＝－×5×5＝(π－)cm2.11．66°　[解析] 如图，连接BD.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°.∵D是的中点，∠ABC＝48°，∴∠ABD＝∠ABC＝24°，∴∠DAB＝90°－∠ABD＝66°.12．证明：如图，连接AD.∵AB⊥CD，∴＝，∴∠AMD＝∠ADC.∵点A，M，C，D在⊙O上，∴∠ADC＋∠AMC＝180°.又∵∠FMC＋∠AMC＝180°，∴∠FMC＝∠ADC，∴∠AMD＝∠FMC.13．解：(1)证明：如图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC.∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC.(2)与∠CAD相等的角是∠BAG.证明：如图②，连接BG.∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°.∵点D，C，G共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°.∴∠ACD＝∠ABG.∵AB是⊙O的直径，∴∠BAG＋∠ABG＝90°.∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BAG.