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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品学案设计，共10页。学案主要包含了任意角的概念，终边相同的角及象限角，区域角的表示等内容，欢迎下载使用。
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
思考 角的概念中主要包含哪些要素？
答案 角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边．
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考 “锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
答案 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．
1．第二象限角是钝角．( × )
2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( √ )
3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( √ )
一、任意角的概念
例1 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④钝角比第三象限角小；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
答案 ②
解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；
④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；
⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
反思感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120° C．－60° D．60°
答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq \f(4,12)×360°＝－120°.
二、终边相同的角及象限角
例2 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
解 (1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
反思感悟 首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．
跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
(2)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
答案 C
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.
三、区域角的表示
例3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思感悟 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解 如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是－30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．
如题图(2)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
确定nα及eq \f(α,n)所在的象限
典例 已知α是第二象限角，求角eq \f(α,2)所在的象限．
解 方法一 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α
∴eq \f(k,2)·360°＋45°
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°
这表明eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°
这表明eq \f(α,2)是第三象限角．
∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角．
方法二 如图，
先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq \f(α,2)的终边所在的区域，故eq \f(α,2)为第一或第三象限角．
延伸探究
1．在本例条件下，求角2α的终边的位置．
解 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α
∴k·720°＋180°<2α
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．若本例条件中角α变为第三象限角，求角eq \f(α,2)是第几象限角．
解 如图所示，
先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角eq \f(α,2)的终边所在的区域，故角eq \f(α,2)为第二或第四象限角．
[素养提升] 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．
1．与－30°终边相同的角是( )
A．－330° B．150° C．30° D．330°
答案 D
解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
2．－240°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角．
3．下列说法正确的是( )
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角
答案 A
解析 由于锐角范围是0°<α<90°，显然是第一象限角；
－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案 D
解析 终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．
答案 {α|k·360°＋45°<α
解析 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α
1．知识清单：
(1)任意角的概念．
(2)终边相同的角与象限角．
(3)区域角的表示．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．－870°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 －870°＝－3×360°＋210°，
∴－870°是第三象限角，故选C.
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案 C
3．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
答案 B
解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
所以－330°与750°终边相同．
4．下面说法正确的个数为( )
①第二象限角大于第一象限角；
②终边在x轴非负半轴上的角是零角；
③钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴非负半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
5．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是____．
答案 －1 030°
解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.
又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
7．与－2 019°角终边相同的最小正角是________．
答案 141°
解析 因为－2 019°＝－6×360°＋141°，
所以所求角为141°.
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案 120°，300°
解析 根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
答案 A
解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角．
故α在第一或第三象限．
12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
答案 C
解析 特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．
13．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．
答案 {α|n·180°＋30°<α
解析 方法一 (并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°<α
方法二 (旋转法)
观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α
14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角、象限角
答案 270°
解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴当k＝3时，α＝270°.
15．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案 一或三
解析 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解 由题意可知
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
思考 角的概念中主要包含哪些要素？
答案 角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边．
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考 “锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
答案 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．
1．第二象限角是钝角．( × )
2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( √ )
3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( √ )
一、任意角的概念
例1 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③小于90°的角为锐角；
④钝角比第三象限角小；
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
答案 ②
解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；
④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；
⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．
反思感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120° B．－120° C．－60° D．60°
答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq \f(4,12)×360°＝－120°.
二、终边相同的角及象限角
例2 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
解 (1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
反思感悟 首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．
跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
(2)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
答案 C
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.
三、区域角的表示
例3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
反思感悟 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解 如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是－30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．
如题图(2)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
确定nα及eq \f(α,n)所在的象限
典例 已知α是第二象限角，求角eq \f(α,2)所在的象限．
解 方法一 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α
∴eq \f(k,2)·360°＋45°
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°
这表明eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°
这表明eq \f(α,2)是第三象限角．
∴eq \f(α,2)为第一或第三象限角．
方法二 如图，
先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq \f(α,2)的终边所在的区域，故eq \f(α,2)为第一或第三象限角．
延伸探究
1．在本例条件下，求角2α的终边的位置．
解 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α
∴k·720°＋180°<2α
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．若本例条件中角α变为第三象限角，求角eq \f(α,2)是第几象限角．
解 如图所示，
先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角eq \f(α,2)的终边所在的区域，故角eq \f(α,2)为第二或第四象限角．
[素养提升] 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．
1．与－30°终边相同的角是( )
A．－330° B．150° C．30° D．330°
答案 D
解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
2．－240°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角．
3．下列说法正确的是( )
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角
答案 A
解析 由于锐角范围是0°<α<90°，显然是第一象限角；
－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案 D
解析 终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．
答案 {α|k·360°＋45°<α
解析 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α
1．知识清单：
(1)任意角的概念．
(2)终边相同的角与象限角．
(3)区域角的表示．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．－870°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 －870°＝－3×360°＋210°，
∴－870°是第三象限角，故选C.
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案 C
3．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
答案 B
解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
所以－330°与750°终边相同．
4．下面说法正确的个数为( )
①第二象限角大于第一象限角；
②终边在x轴非负半轴上的角是零角；
③钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴非负半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
5．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是____．
答案 －1 030°
解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.
又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
7．与－2 019°角终边相同的最小正角是________．
答案 141°
解析 因为－2 019°＝－6×360°＋141°，
所以所求角为141°.
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案 120°，300°
解析 根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
答案 A
解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角．
故α在第一或第三象限．
12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
答案 C
解析 特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．
13．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是____．
答案 {α|n·180°＋30°<α
解析 方法一 (并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°<α
方法二 (旋转法)
观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α
14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角、象限角
答案 270°
解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，∴当k＝3时，α＝270°.
15．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．
答案 一或三
解析 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解 由题意可知
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.名称
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转形成的角
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