北师大版数学九上专题1.32 特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇）（专项练习）（含答案）

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专题1.32 特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（       ）A． B． C． D．2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（       ）A．4 B．3 C．2 D．13．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（       ）A．3 B．5 C． D．4．（2022·青海·中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（       ）A．5 B．4 C．6 D．85．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（       ）A． B．5 C．10 D．206．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（       ）A． B．3 C． D．47．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（       ）A． B． C． D．8．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（       ） A． B． C． D．9．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（       ）A． B． C． D．10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（       ）A．3 B． C． D．二、填空题11．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm．12．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．13．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．14．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．15．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．16．（2022·海南·中考真题）如图，正方形中，点E、F分别在边上，，则___________；若的面积等于1，则的值是___________．17．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．18．（2022·四川广元·中考真题）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 _____cm．三、解答题19．（2022·北京·中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．(1 )求证：四边形是平行四边形；若求证：四边形是菱形．20．（2022·山东临沂·中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．(3) 在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．21．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．求证：AF与DE互相平分；当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．22．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．(1) 求证：；(2) 若，，求的长．23．（2022·贵州遵义·中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．(1) 求证：；(2) 若，求的长．24．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．参考答案1．B【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．解：∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，∴A、C坐标关于原点对称，∴C的坐标为，故选C．【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．2．B【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，，四边形是矩形，，，又， ，，，，四边形是平行四边形，垂直平分，，四边形是菱形，故①正确；②，，∠AFB＝2∠ACB；故②正确；③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，④四边形是矩形，，若AF平分∠BAC，，则，，，，，，，CF＝2BF．故④正确；故选B【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．解：如图：连接BE， ，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD， ∴故选：A．【点拨】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．4．A【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．解：在中，，，，．又为中线，．为中点，即点是的中点，是的中位线，则．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．5．C【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．解：四边形是矩形，，，由作图过程可知，垂直平分，，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形，设，则，在中，，即，解得，则四边形的周长为，故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．6．D【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D．【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．7．B【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．解：在正方形中：，∴，∵O为正方形对角线的中点，∴，∵为等边三角形, O为的中点，∴，，∴,∴,故选：B．【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．8．A【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．解：过点O作OM⊥BC于点M，，四边形ABCD是矩形，，，，四边形ABFE是正方形，，，，，由勾股定理得，，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．D【分析】过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到，再证得∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四边形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故选：D【点拨】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．10．D【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果．解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设∵点是中点，∴EM是的中位线，四边形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM= 故选：D．【点拨】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．11．8【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可．解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4，，，AO=OC=AC=2， ，，故答案为：8．【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．12．【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．解：连接AC交BD于点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴ 在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴过点M作MG//BD交AC于点G，∴,∴ 又 ∴，∴四边形MEOG是矩形，∴ME=OG，又 ∴ ∴ 在和中，,∴≌∴，∴，故答案为．【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．13．【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得，∵AE=BE，∴， 在Rt△AOB中，即菱形的边长为，∵点F为的中点，点O为DB中点，∴ ．故答案为【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．14．或【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解．解：①如图，过点作于点，，四边形是平行四边形折叠即，四边形是矩形中，，中，②如图，当时，同理可得，，，中，故答案为：或【点拨】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．15．【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB=，∴OA=，∴点O关于AB的对称点F，∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，∴∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEC=∠CAE=15°，∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案为：．【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF是解题的关键．16．     60     【分析】由正方形的性质证明，即可得到，再由可得，即可求出．设，表示出的面积，解方程即可．解：∵正方形∴，∵∴（HL）∴，∵，∴∴设∴∴∵的面积等于1∴，解得，（舍去）∴故答案为：60；．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．1【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．解：连接AG，EG，如图，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案为：1．【点拨】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．18．【分析】由题意易得cm，则当点D沿DA方向下滑时，得到，过点作于点N，作于点M，然后可得，进而可知点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，最后问题可求解．解：由题意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴cm，如图，当点D沿DA方向下滑时，得到，过点作于点N，作于点M，∵∠DAM=90°，∴四边形NAMC′是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴平分∠NAM，即点D沿DA方向下滑时，点C′在射线AC上运动，∴当时，此时四边形是正方形，CC′的值最大，最大值为，∴当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为；故答案为．【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．19．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴，∵∴，∴，∴四边形ABCD为菱形，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．20．(1)见分析(2)大小不变，理由见分析(3)，证明见分析【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出，便可证明；（2）连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明，，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明．解：(1)连接BD，是等边三角形，，点B，D关于直线AC对称，AC垂直平分BD，，，四边形ABCD是菱形；(2)当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，，是等边三角形，，连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，则，，是等边三角形，，，，点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，PB = PD，∠DPA =∠BPA，PQ = PD，，，∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，即∠QPA = ∠BPE，∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；(3)AQ= CP，证明如下：AC = AB，AP= AE，AC - AP = AB – AE，即CP= BE，AP = EP，PF⊥AB，AF = FE，PQ= PD，PF⊥AB，QF = BF， QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，AQ= CP．【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．21．(1)见分析(2)AF=BC，理由见分析【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形．(1)证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，∴DFAC，EFAB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分．(2)解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE，∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形．【点拨】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识．22．(1)见详解(2)【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求．解：(1)在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，，∵，∠A=∠D=90°，，∴四边形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵MN是BE的垂直平分线，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵，∴△ABE≌△FMN；(2)连接ME，如图，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，，∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∵MN是BE的垂直平分线，∴BO=OE==5，BM=ME，∴AM=AB-BM=8-ME，∴在Rt△AME中，，∴，解得：，∴，∴在Rt△BMO中，，∴，∴ON=MN-MO=．即NO的长为：．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．23．(1)见分析(2)【分析】（1）根据正方形和菱形的性质可得，根据即可得证；（2）连接交于点，勾股定理求得，，根据菱形的性质可得，进而求得正方形和菱形的对角线的长度，根据即可求解．(1)证明：正方形和菱形，，在与中（）(2)如图，连接交于点，，，在中，，，在中，，，在中，，，，．【点拨】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，，掌握以上知识是解题的关键．24．(1)或或或(2)①15，15；②，理由见分析(3)cm或【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②(3)当点Q在点F的下方时，如图，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，设，即解得：∴；当当点Q在点F的上方时，如图，cm，DQ =3cm，由（2）可知，设，即解得：∴．【点拨】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．