九年级数学北师大版上册 第一章 特殊平行四边形复习 教案2

第1单元   特殊平行四边形

复习教案

【学习目标】

1. 理解菱形、矩形、正方形的概念.

2. 掌握菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：

（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）四条边相等；

（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：

（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：

（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点三、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：

（1）对边平行；

（2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

要点四、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、菱形的性质与判定

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（    ）

A. 对角相等   B. 对边相等     C. 对角线互相垂直     D. 对角线相等

2、下列说法中正确的是（　　　）

Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形

Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形

Ｄ、四个角相等的四边形是菱形

3.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是          .

4.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．

5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：四边形BCFD是菱形；

（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．

6. 如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF.  求证：四边形BEDF为菱形。

举一反三：

【变式1】菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是(    )

A．8cm和4cm    B．4cm和8cm    C．8cm和8cm     D．4cm和4cm

【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　    　．

【变式3】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．

【变式4】如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明

【变式5】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．

(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．

类型二、矩形的性质与判定 

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）

A. AB∥DC    B. AC=BD    C. AC⊥BD    D. OA=OC

2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）

A. 对角相等    B. 对边相等    C. 对角线相等    D. 对角线互相平分

3.矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（　　）

1. 2    B. 4    C. 2    D. 4

4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．

5.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．求证：DE=AC．

6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

8. 已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．

（1）求证：四边形AEFC为矩形；

（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．

举一反三：

【变式1】矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

1. 对角线相等    B. 两组对边分别平行    C. 对角线互相平分  D. 两组对角分别相等

【变式2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(　　)

A. 3.5    B. 4    C. 7    D. 14

【变式3】矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．

【变式4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　　       ．

【变式5】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．

【变式6】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．

【变式7】如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

【变式8】已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF,DF∥BE．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．

类型三、正方形的性质与判定

1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）

A. 对角线相等    B. 对角线互相平分

C. 对角线互相垂直    D. 对角形互相垂直平分 

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）

A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 

3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）

1. BD=AB    B. AC=AD    C. ∠ABC=90°    D. OD=AC

4、如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．

5、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．

举一反三：

【变式1】如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．75°       B．60°      C．55°      D．45°

【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．

【变式3】有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次为S1、S2，则S1：S2等于（   ）

【变式4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.

【变式5】如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，

（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由

（2）在（1）的条件下，当∠A=　   　时四边形BECD是正方形．

类型四、综合应用

8、如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．

    (1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．

    (2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．

    (3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．

 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．

举一反三：

【变式】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(　　)

A．矩形    B．菱形  C．对角线相等的四边形    D．对角线互相垂直的四边形

【课后作业】

一.选择题

1. 在下列命题中，是真命题的是（　　）

A. 两条对角线相等的四边形是矩形

B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2．下列说法中正确的是（　　）

A. 对角线相等的四边形是矩形

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 平行四边形的对角线平分一组对角

D. 矩形的对角线相等且互相平分

3. 在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（　　）

A. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD    B. AB∥CD，AC=BD

C. AO=BO，∠A=∠C    D. AO=CO，BO=DO，AB=BC

4. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A. 四条边相等             B. 对角线互相垂直平分

C. 对角线平分一组对角     D. 对角线相等

5．菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，那么边长是（　　）

A. 60cm    B. 50cm    C. 40cm    D. 80cm

6. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A．    B．    C．5     D．4

7. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）

A.108°  B.72°   C.90°    D.100°

8．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为(    )．

A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4

9．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为(    )．

A.14 B.28 C.20 D.22

10. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　）

A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

11. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 (    )

    A. 矩形       B. 菱形      C.  正方形        D. 梯形

12.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）

A．1    B．2     C．3    D．4

13. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，，则的值为(     )

A.16                B.17          C.18             D.19

二.填空题

1．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______．

2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.

3．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.  

4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　  　度．

5. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.

6.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.

7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.

8. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

9. 如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为______．

10. 如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于________．

11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________. 

12.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　．

三.  解答题

1. 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．

（1）求证：△APD≌△CPD；

（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．

2. 平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．

（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；

（2）当四边形ABCD是　  　 形时，四边形OBEC是正方形．

3. 如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD.  求证：BC＝2 DN

4. 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．

（1）求证：BC=DE；

（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．

5．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．

（1）证明：四边形ADCE是矩形．

（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．

7. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE＝OF；

(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

9. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA=　   时，四边形BFDE是正方形．