初中数学北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程课文配套ppt课件

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数学 九年级上册 BS版
1. 因式分解法的定义.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个 的乘积时，可把一元二次方程转化为两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
2. 用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤.
我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解．你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？
因式分解法解一元二次方程
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度为 (10x - 4.9x2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
∵ a = 4.9，b = -10，c = 0，
∴ b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 =100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是更简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
一移— —使方程的右边为 0；
二分— —将方程的左边因式分解；
三化— —将方程化为两个一元一次方程；
四解— —写出方程的两个解.
简记歌诀右化零，左分解；两因式，各求解.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
(1) x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) m2 = m.
(4) m1 = 0，m2 = 1.
用因式分解法解下列方程：（1）3 x2＝2 x ；
用因式分解法解下列方程：（2）5 x （ x ＋1）＝6（ x ＋1）；
用因式分解法解下列方程：（3）2 x （ x －3）＝3 x －9；
用因式分解法解下列方程：（4）（ x －3）2＝（2 x ＋1）2.
【点拨】因式分解法解一元二次方程的依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个因式等于0.因式分解的常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法.这几种方法需要灵活并熟练运用.
用因式分解法解下列方程：
（1）（ x ＋8）（7 x －5）＝0；
（2）（6 x －1）2＝6 x －1；
（3） x （4 x ＋11）＝8 x ＋22；
（4）2（ x －3）＝ x2－9.
解： x1＝3， x2＝－1.
用适当的方法解下列方程：（2）（2 x －3）2＝9（2 x ＋3）2；
用适当的方法解下列方程：（3） x2－6 x ＋5＝0；
（3）原方程可变形为（ x －1）（ x －5）＝0.∴ x1＝1， x2＝5.
用适当的方法解下列方程：（4）（ x ＋4）2－4（ x ＋4）＋3＝0.
（4）原方程可变形为[（ x ＋4）－1][（ x ＋4）－3]＝0.∴（ x ＋4）－1＝0，或（ x ＋4）－3＝0.∴ x1＝－3， x2＝－1.
【点拨】通过对比此题中的各种解法，我们可以知道：①解一元二次方程，优先选择因式分解法；②若无法进行因式分解，再考虑公式法.其中，“十字相乘法”需要熟练掌握.同时需要注意的是，公式法能处理所有一元二次方程，但是计算量较大，可作为最后的解题手段.
用适当的方法解下列方程：
（2）（3 x －4）2＝（4 x －3）2；
解： x1＝－1， x2＝1.
（3）3 x2＋2 x －5＝0；
（4）（ x －3）（ x ＋1）＝5.
解： x1＝－2， x2＝4.
已知一元二次方程 x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0.（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.（2）已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是这个方程的两个实数根，且第三边 BC 的长为5.当△ ABC 是等腰三角形时，求 k 的值.
（1）证明：∵Δ＝[－（2 k ＋1）]2－4（ k2＋ k ）＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）已知△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是这个方程的两个实数根，且第三边 BC 的长为5.当△ ABC 是等腰三角形时，求 k 的值.
（2）解：∵ x2－（2 k ＋1） x ＋ k2＋ k ＝0，∴ x2－[ k ＋（ k ＋1）] x ＋ k （ k ＋1）＝0.∴（ x － k ）[ x －（ k ＋1）]＝0.∴ x1＝ k ， x2＝ k ＋1.∵ k ＜ k ＋1，∴ AB ≠ AC .
①当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AB ＝ BC 时， k ＝5，三边长5，5，6能组成三角形，符合题意.
②当 AB ＝ k ， AC ＝ k ＋1，且 AC ＝ BC 时， k ＋1＝5.解得 k ＝4.三边长4，5，5能组成三角形，符合题意.综上所述， k 的值为4或5.
【点拨】对于含参数的一元二次方程，若题目中的条件涉及根的值，可用十字相乘法求根，或者直接用公式法求根，且求出的根含有参数.对于一元二次方程与实际结合的问题，最后一定要检查解是否符合题意.
已知关于 x 的方程 kx2－（4 k －3） x ＋3 k －3＝0.（1）求证：无论 k 取何值，该方程都有实数根；
（1）证明：当 k ≠0时，Δ＝[－（4 k －3）]2－4 k （3 k －3）＝4 k2－12 k ＋9＝（2 k －3）2≥0.∴无论 k 取何值（ k ≠0），原方程都有两个实数根.当 k ＝0时，方程变为3 x －3＝0.解得 x ＝1. 此时，原方程有一个 实数根.综上所述，无论 k 取何值，原方程都有实数根.
（2）若 x ＝－1是该方程的一个根，求 k 的值；
（3）若该方程的两个实数根均为正整数，求整数 k 的值.