【培优分级练】北师大版数学九年级上册 第08课《特殊平行四边形解答题（难点3-解答证明与情景探究题）》培优三阶练（含解析）

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第08课 特殊平行四边形 解答题（难点3-解答证明与情景探究题）课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、解答题1．如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO= ∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形；(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值．2．问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．(1)猜想证明：试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；(3)解决问题：如图①，若AB＝4，当BE的长为　 　 时，△ADE为等腰三角形，请直接写出结果．3．已知正方形，E，F为平面内两点．(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．4．如图，正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．(1)如图1，过点作DF//GH交的延长线于点，当时．①求证：；②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接如图2，求证：；(2)如图3，当，边长，，求的长．5．某数学小组在探究四边形的性质时，经历了如下过程：四边形是菱形，．(1)【操作发现】如图1，点是线段上的一个动点（不与端点重合），连接，以为边作等边，过点作于点，作于点，连接．①__________°；②__________（填“＞”或“＜”或“＝”）．(2)【数学思考】如图2，点是线段延长线上的一个动点（不与端点重合），连接，以为边作等边．①连接，求证：点在的角平分线上；②过点作，交于点，连接，求证：四边形是平行四边形；(3)【类比探索】如图3，若点不在直线上时，以为边作等边，连接并延长，交于点，连接，求的大小．6．如图所示，在菱形中，是等边三角形．(1)如图1，点E、F分别在菱形的边上滑动，且E、F不与B、C、D重合，求证：；(2)如图2，点E是延长线上一点，连．①求证：；②若，求的长．7．(1)操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将沿AE折叠后得到，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．(2)类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．(3)解决问题：保持（1）中的条件不变，若G点是CD的中点，则矩形ABCD中，AD与AB的比值______．8．[情景引入]如图1，射线AD与线段AB重合，将射线AD绕点A逆时针方向旋转旋转角为，，在旋转过程中，某一时刻射线AD把分成面积相等两部分，于是我们可以求得，此时我们把射线AD称为的“完美分割线”．[理解应用]如图2，在钝角中，点E是线段BC的中点，试说明：射线AD是的“完美分割线”．[问题提升]在菱形ABCD中，，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图3，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，①请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；②连接E、F，试说明：为等边三角形．（2）如图4，将绕点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转，当OM与AD重合时停止运动（旋转时间为t）；试问：当t为何值时，射线OM或射线ON是某个三角形的“完美分割线”？（注：解答时原图不添加任何字母和辅助线）培优第二阶——拓展培优练一、解答题1．如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．(1)当点P是的中点时，求证：；(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．2．如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）【思考】如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ　　（填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．【应用】在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如图4，CD＝AF＝1．①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为　　．（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围　　．3．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ．4．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．（1）【观察猜想】如图（1），当点D在线段CB上时，① ；②之间数量关系为 ．（2）【数学思考】：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）【拓展应用】：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若，，请直接写出的长及菱形ADEF的面积．．5．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．(1)折纸1：如图，将正方形沿对折，使点A落在点，连接，若，则_______．(2)折纸2：请用一个正方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），在给出的正方形图形中画出你的折叠方法，并说明理由．(3)折纸3：如图，操作一；将边长为4的正方形片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作：将正方形沿着折叠，使得点D落在点处；操作三：正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边于点P，求线段的长度．(4)综合应用：如图，在矩形中，，，点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为，落在矩形的内部，连结，，当为等腰三角形时，求的面积．6．已知正方形，，为平面内两点．(1)【探究建模】如图1，当点在边上时，，且，， 三点共线．求证：；(2)【类比应用】如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；(3)【拓展迁移】如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．(1)【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．小明发现可以类比以上思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请你根据小明的思路完成证明过程．(2)【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．①请你判断线段EF和AE的数量关系是________，并说明理由；②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．8．[特例感知]如图1，在正方形中，点E，F分别为，的中点，、交于点G．（1）易证，可知、的关系为___________________；（2）连接，若，求的长．[初步探究]如图2，在正方形中，点E为边上一点，分别交、于F、G，垂足为O．求证：．[基本应用]如图3，将边长为6的正方形折叠，使得点A落在边的中点M处，折痕为，点P、Q分别在边、上，请直接写出折痕的长：________．[应用拓展]如图4，在四边形中，，，，，于E，交于F，则长为________．9．在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．(1)如图2，求证：DE＝DF；(2)若直线AC与EF相交于点G，①如图3，求证：DG⊥EF；②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．10．阅读下面材料：有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，M是的中点，连接交于点N．(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，点G恰好落在边上，如图2，其他条件不变，线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3)【拓展应用】在图2的基础上，若，请直接写出线段的长．培优第三阶——中考沙场点兵一、解答题1．（2021·江苏徐州·中考真题）如图1，正方形的边长为4，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90°得到，将线段绕点逆时针旋转90°得到．连接．（1）求证：①的面积；②；（2）如图2，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．2．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形，，为平面内两点．【探究建模】（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；【类比应用】（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；【拓展迁移】（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．3．（2021·广西来宾·中考真题）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，．，．，四边形是平行四边形，．又，，．【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．解：过点作于点，连接．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．4．（2019·湖南岳阳·中考真题）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)5．（2018·吉林长春·中考真题）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．